Высшая проба 2024, 11 класс, задача 3
( баллов) В выпуклом четырёхугольнике , в котором , диагонали и пересекаются в точке . Описанная окружность треугольника пересекает сторону в точке и продолжение стороны в точке . Докажите, что отрезки и равны.
Ответ
Решение.
Пусть окружность из условия пересекает отрезок в точке , а продолжение отрезка — в точке . Заметим, лежит именно на продолжении за точку , ибо в противном случае точка лежала бы строго внутри треугольника , и не лежала бы на его описанной окружности, что противоречит условию. Кроме того, , так как иначе прямая имела бы с окружностью из условия три попарно различные общие точки , , .
Так как хорды на которые опираются равные вписанные углы равны, то достаточно доказать, что — это и сделаем. Из теоремы о внешнем угле треугольника получаем и , потому нам достаточно проверить равенство . Покажем, что каждая из этих сумм равна . Действительно, пользуясь снова теоремой о внешнем угле треугольника, равнобедренностью треугольников и , а также тем, что , , , , последовательные точки на окружости имеем равенства
и