Высшая проба 2021, 11 класс, задача 5
( баллов) Дана пара взаимно-простых многочленов с действительными коэффициентами и степеней и соответственно ( взаимно-простые означает, что не существует многочлена (), не равного константе, на который делятся и ). Гриша выбирает конечное множество действительных чисел (помните, в множестве элементы не повторяются, размер множества Гриша тоже выбирает сам), находит число различных кратных действительных корней у многочлена +() (при от до ) и складывает полученные числа. Какую наибольшую сумму Гриша может получить в результате этого процесса?
Решение. Лемма. В гришиной сумме могут быть учтены те и только те числа , в которых производная функции обращается в ноль, причем каждое такое может быть посчитано максимум для одно .
Доказательство. Как известно, число является кратным корнем многочлена если и только если является корнем многочлена и его производной . Пусть - кратный корень , имеем левую из систем:
Первая равносильность заслуживает пояснений: из уравнения если что и , то невозможно поскольку многочлены взаимно-просты. Если же то деление на него является равносильным переходом, а однозначно находится из . Второй переход - просто поделили на .
Осталось заметить, что это в точности производная .
Итак, мы получили что все числа, посчитанные в гришиной сумме, это корни многочлена , который имеет не более чем степень (при взятии производной степень многочлена уменьшается на единицу, при перемножении многочленов - складывается, при вычитании не увеличивается), покажем что не может быть тождественно нулем (на самом деле покажем, что степень ровно ). Пусть и - старшие (а значит - ненулевые) коэффициенты многочленов и соответственно. Тогда коэффициент при есть . Таким образом, мы доказали оценку сверху: сумма не может быть больше .
Осталось построить пример, когда сумма равна . Возьмем и такими, что все их корни вещественны, различны и все корни лежат левее всех корней . Тогда есть отрезков между соседними корнями , на каждом из этих отрезков функция непрерывна (все корни знаменателя правее), равна нулю в концах отрезка и не равна нулю в остальных точках, значит в какой-то точке производная принимает нулевое значение по теореме Ролля - нашли нулей производной. Теперь посмотрим на интервалы между соседними корнями , и также на открытый луч от самого правого из них до плюс бесконечности. На каждом интервале функция непрерывна, не меняет знак (поскольку не принимает нулевого значения - все корни числителя лежат левее), в концах интервалов стремится к бесконечности (поскольку это корни числителя), при аналогично стремится к бесконечности, поскольку степень числителя больше степени знаменателя. Значит на каждом из промежутков модуль достигает минимума во внутренней точке, там производная обращается в ноль (альтернативно можно воспользоваться теоремой Ролля для функции ) - нашли еще нулей производной
,ине могут давать более чемв сумме – то есть даже допущенывсетриошибки,доказательствооценкистоит(14−4)ане14−2−2−4 = 6.Чистое построение примера вместе с доказательством существования всех корней.
B1 Пример верный, но доказано существование только 4019 корней.