Высшая проба 2021, 11 класс, задача 1
( баллов) Для действительного числа рассмотрим возрастающую последовательность всех натуральных чисел , для которых . Может ли для какого-то соответствующая последовательность начинаться с
а) ?
б) ?
Ответ
Решение. Немного рассуждений, избыточных для решения этой задачи. Покажем индукцией по , что - это наименьшее натуральное число , для которого . База: для удобства будем считать натуральным числом, и все последовательности тоже начинать с нулевого члена. Тогда, во-первых, , поскольку , и - первое натуральное число с таким свойством, поскольку оно просто первое. С другой стороны, , поскольку и опять же, - первое натуральное число с этим свойством. Итак, .
Переход. Пусть . Тогда для всех натуральных чисел из отрезка имеем из определения . Но тогда . С другой стороны, , то есть . Итак, .
Пункт а). Из приведенных выше рассуждений следует система неравенств (самая левая)
Преобразуем как написано выше, благо все числа положительны. Имеем, что условие выполняется для любого , такого что лежит в полуинтервале .
Отметим, что для решения задачи не обязательно описывать множество всех таких (как сделано выше), достаточно указать одно, например, , и доказать, что оно подходит.
Пункт б) Действуя аналогично, имеем:
Приходим к противоречию, что , что доказывает что такого не существует