Сложная
Теория чисел
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2021, 7 класс

Высшая проба 2021, 7 класс, задача 5

( баллов) Найдите все четвёрки натуральных чисел , , , , для которых выполнены равенства

Фото или PDF, до 20 МБ на файл, до 10 файлов. Ответ проверят вручную.
Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: , , , , , , , , .

Решение.

Из системы

получаем

Каждое из чисел и является неотрицательным целым. Если они равны и , то . Если они равны и , то , откуда , а . Из равенства получаем . Случай и дает перестановку. Осталось проверить, что все полученные наборы подходят под уравнения системы.

1

Правильное решение:Не снижаем за потерю части случаев с перестановкамиСчитаем очевидными утверждения вида<ab при,Нет проверки ответа (и односторонние следствия в решении):(+.) Сведено к обозримому количеству случаев (например,доказано,что все числа меньше 6).

15
2

Получено равенство ()()+()()=(cd−)+(ab−)+2 =2 или + аналогичное.

8
Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 4

(20 баллов) Пара различных натуральных чисел (a,b) называется удачной, если сумма наибольшего собственного делителя числа a и наименьшего собственного делителя числа b равна сумме наименьшего собственного делителя числа a и наибольшего собственного делителя числа b. Существует ли миллион удачных пар
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2023, 7 класс, задача 1

(15 баллов) Найдите наименьшее десятизначное натуральное число, все цифры которого различны, такое, что при вычёркивании всех чётных цифр остаётся 97531, а при вычёркивании всех нечётных цифр — 02468.
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2026, 7 класс, задача 5

(20 баллов) В магазине продаются 9 разных чашек трёх цветов (красные, оранжевые, фиолетовые) с тремя узорами (в горошек, в полосочку и в клеточку). Все чашки стоят целое число монет от 1 до 9, причём все цены попарно различны. Известно, что все не красные чашки не в горошек суммарно стоят 25 монет,
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Высшая проба 2025, 9 и 10 классы

(15 баллов) Даны многочлены P(x) и Q(x), оба степени n со старшими коэффициентами 1. У каждого из них ровно n различных целых корней. Известно, что все корни многочлена P(x) чётны, а все корни многочлена Q(x) нечётны. Докажите, что у многочлена P(x) + Q(x) не может быть целых корней.
Сложная
Алгебра
Теория чисел