Высшая проба 2023, 7 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2023, 7 класс

( баллов) Найдите наименьшее десятизначное натуральное число, все цифры которого различны, такое, что при вычёркивании всех чётных цифр остаётся , а при вычёркивании
всех нечётных цифр — .

Ответ: .

Решение. Обозначим . Рассмотрим произвольное число ... , удовлетворяющее условиям задачи. Ясно, что , поскольку . Пусть для некоторого . Разберём несколько случаев. • Если , то . • Если , то ...... .... • Если , то . Если , то ....... Если же , то . Итак, мы разобрали все возможные случаи и убедились, что — наименьшее число.

Используется наибольший подходящий критерий.

15 б. Приведён верный ответ с обоснованием минимальности.

8 б. Приведён верный ответ без обоснования минимальности.

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 7 класс, задача 4

(20 баллов) Пара различных натуральных чисел (a,b) называется удачной, если сумма наибольшего собственного делителя числа a и наименьшего собственного делителя числа b равна сумме наименьшего собственного делителя числа a и наибольшего собственного делителя числа b. Существует ли миллион удачных пар

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 3

(15 баллов) За один ход можно выбрать натуральное число x и вычеркнуть все натуральные числа y такие, что |x - y| — натуральное составное число. При этом в качестве x можно выбирать уже вычеркнутые числа. Какое наименьшее количество ходов понадобится, чтобы вычеркнуть из натурального ряда все числа?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2024, 11 класс, задача 1

(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a⁵ + b³, где a и b — натуральные числа?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2020, 8 класс, задача 2

(20 баллов) Имеется дробь 1/n. Восьмиклассник Вася каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Вася утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?

Сложная

Теория чисел