Высшая проба 2023, 8 класс, задача 3

Ответ: .

Решение. Во-первых, заметим, что одного хода не хватит, так как если мы выберем некоторое натуральное число , то число окажется невычеркнутым. Докажем, что двух ходов хватит. Будем искать два подходящих числа и разной чётности. Тогда одна из разностей | | или | | будет чётной. Значит, она будет составной — кроме случаев, когда она окажется равной или . Эти случаи нужно разобрать отдельно. При и разность | | должна оказаться составным числом; а при и , наоборот, разность | | должна оказаться составным числом. В любом случае, достаточно, чтобы разности ||, | | и || были нечётными составными числами. Так как выражения под модулями не могут быть разных знаков (иначе один из них окажется равным ), то это должны быть три последовательных составных нечётных числа. Теперь достаточно найти три последовательных составных нечётных числа (или даже лишь доказать, что такие существуют). Тогда можно выбрать, например, и и получить требуемое. Доказать, что три последовательных нечётных составных числа существуют, можно разными способами. Приведём некоторые из них.

Способ . Рассмотрим последовательные нечётные числа ! ! и ! . Они делятся соответственно на простые числа , и , но не равны им, то есть являются составными.

Способ . Если предположить, что делится на , делится на , а делится на , то число должно давать остатки , и от деления на , и соответственно, а также остаток от деления на . По китайской теореме об остатках таких бесконечно много, и они образуют арифметическую прогрессию с разностью . Первое такое число — это, очевидно, , но оно нам не подходит; а следующее подходит и даёт тройку составных , , .

Способ . Можно перебирать нечётные числа и найти подходящую тройку. Наименьшей такой тройкой является , , , что соответствует и $x = 94