Высшая проба 2023, 9 класс, задача 1

Сложная
Уравнения
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2023, 9 класс

( баллов) Артём, Боря, Вадим и Гриша вернулись из леса, в котором они собирали
грибы. Если бы Артём собрал в раза меньше, а Боря в раза больше, то у них в сумме было бы
столько же, сколько у Вадима и Гриши вместе. А если бы Вадим собрал в раза меньше, а Гриша
в раза больше, то у них в сумме было бы столько же, сколько у Артёма и Бори вместе. Докажите,
что Вадим собрал грибов в раза больше, чем Боря, а Артём собрал грибов в раза больше, чем
Гриша.

Решение. Пусть Артём, Боря, Вадим, Гриша собрали , , , грибов соответственно. Из условия следует, что и . Если из первого равенства, умноженного на , вычесть второе, получится , откуда . Тогда из второго равенства следует, что . Что и требовалось доказать.

1

15 б. Любое полное решение задачи.

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 3

(15 баллов) За один ход можно выбрать натуральное число x и вычеркнуть все натуральные числа y такие, что |x - y| — натуральное составное число. При этом в качестве x можно выбирать уже вычеркнутые числа. Какое наименьшее количество ходов понадобится, чтобы вычеркнуть из натурального ряда все числа?
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2020, 8 класс, задача 2

(20 баллов) Имеется дробь 1/n. Восьмиклассник Вася каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Вася утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?
Сложная
Теория чисел

Высшая проба 2025, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Король придумал испытание для двух мудрецов. Их отведут в разные комнаты и назовут им по натуральному числу от 1 до 16, при этом их числа будут отличаться либо на 5, либо на 11. После этого каждый мудрец пишет на своей карточке какое-то натуральное число, затем король относит карточку пе
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

Высшая проба 2024, 11 класс, задача 2

(15 баллов) В некотором числе 10 единиц, 100 двоек, 1000 троек, ldots, 109 девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду в нём стирают последнюю цифру. Правда ли, что в какой-то момент после начального получится число, делящееся на 9?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика