Высшая проба 2023, 9 класс, задача 1

( баллов) Артём, Боря, Вадим и Гриша вернулись из леса, в котором они собирали
грибы. Если бы Артём собрал в раза меньше, а Боря в раза больше, то у них в сумме было бы
столько же, сколько у Вадима и Гриши вместе. А если бы Вадим собрал в раза меньше, а Гриша
в раза больше, то у них в сумме было бы столько же, сколько у Артёма и Бори вместе. Докажите,
что Вадим собрал грибов в раза больше, чем Боря, а Артём собрал грибов в раза больше, чем
Гриша.

Ответ

Решение. Пусть Артём, Боря, Вадим, Гриша собрали , , , грибов соответственно. Из условия следует, что и . Если из первого равенства, умноженного на , вычесть второе, получится , откуда . Тогда из второго равенства следует, что . Что и требовалось доказать.

15 б. Любое полное решение задачи.

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2023, 8 класс, задача 3

(15 баллов) За один ход можно выбрать натуральное число x и вычеркнуть все натуральные числа y такие, что |x - y| — натуральное составное число. При этом в качестве x можно выбирать уже вычеркнутые числа. Какое наименьшее количество ходов понадобится, чтобы вычеркнуть из натурального ряда все числа?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 6

(20 баллов) Натуральное число N называется интересным, если в системе счисления с основанием t оно задаётся четырёхзначным числом overline{abcd}, то есть N=at³+bt²+ct+d, 0le a,b,c,dle t-1, ane0, таким, что overline{ab}+overline{cd}=overline{bc}. Сколько существует пар интересны

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2026, 9 класс, задача 2

(13 баллов) Числа a, b, c являются длинами сторон остроугольного треугольника. Докажите неравенство a³+b³+abc>c³.

Сложная

Неравенства

Планиметрия

Высшая проба 2020, 8 класс, задача 2

(20 баллов) Имеется дробь 1/n. Восьмиклассник Вася каждую минуту прибавляет к её числителю и знаменателю по 1 и смотрит, можно ли сократить полученную дробь. Вася утверждает, что первый раз сократимая дробь получилась после 1000 шагов. Стоит ли ему верить?

Сложная

Теория чисел