Высшая проба 2024, 11 класс, задача 2
( баллов) В некотором числе единиц, двоек, троек, , девяток, расположенных в некотором порядке. Каждую секунду в нём стирают последнюю цифру. Правда ли, что в какой-то момент после начального получится число, делящееся на ?
Да, правда.
Остаток от деления числа на равен остатку суммы цифр числа при делении на . Мысленно выкинем из числа все девятки, так как они не меняют остаток суммы цифр при делении на . В нашем числе есть восьмёрок, а остальных цифр . Разобьём наши цифр на блоков по десять цифр. Если в каждом блоке не более восьмёрок, то всего их не более чем , значит, найдётся блок из подряд идущих восьмёрок. Пусть после стирания первой из них (если идти справа налево) сумма оставшихся цифр равна . Тогда при последовательном стирании следующих восьми восьмёрок суммы оставшихся цифр равны . Эти девять чисел дают попарно различные остатки при делении на девять (разность любых двух различных из них не кратна , ибо числа не кратны ), потому среди них найдётся кратное девяти.
Под восьмёрками «подряд» ниже подразумеваются такие восьмёрки, между кото- рыми нет цифр отличных от девяток (и от самих этих восьмёрок). Если в работе «доказательство» того, что в числе найдутся девять восьмёрок «под- ряд» состоит лишь из ссылки на то, что восьмёрок большеот 111111110 — всех отличных от девяток цифр, то работа оценивается так же, как если бы в ней вообще не было попытки доказательства приведённого утверждения. Аналогично с утверждением про восемь восьмёрок «подряд».
только верный ответ и/или формулировка признака делимости на 9 и/или наблюдение, что девятки «можно выкинуть» и/или аналогичное.
есть рассуждение вида «когда вычёркиваются по одной подряд ищущие восьмёрки, то остаток остающегося от деления на 9 каждый раз меняется на 1, поэтому если много подряд вычеркнуть, то где-то будет кратное 9», а далее утверждается, что «восьмёрок много, а поэтому где-то будет много подряд», при этом строгий смысл слова «много» никак не прояснён. Сюда же относится случай, когда вместо слова «много» написано конкретное число, большее 10. Других продвижений нет.
сформулировано, что найдутся 8 восьмёрок «подряд». Далее нужное утвер- ждение выведено в предположении (возможно неявном), что самая левая из них не пер- вая цифра в числе, а самая правая не последняя цифра в числе. Других продвижений нет. Всероссийская олимпиада школьнико1в «Высшая проба» 2024 год, 2 этап 1.