Высшая проба 2023, 7 класс, задача 4
( баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды жителей этого острова выстроились в ряд, и каждый из них сказал
одну из следующих фраз:
• «Слева от меня лжецов столько же, сколько и рыцарей.»
• «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей.»
• «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей.»
...
• «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей.»
Известно, что каждую фразу сказал ровно один человек. Какое наименьшее количество лжецов
может быть среди этих жителей?
Ответ: .
Решение. Предположим, что рыцарей в ряду не менее . Рассмотрим самого правого из них. Слева от него хотя бы рыцарей и не более лжецов, поэтому он не мог сказать ни одну из перечисленных фраз, противоречие. Значит, всего рыцарей не больше . Теперь приведём пример, когда рыцарей ровно . Пусть левые человек — лжецы, которые соответственно говорят фразы «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей», «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей», ..., «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей» и «Слева от меня лжецов столько же, сколько и рыцарей». А следующие человек — рыцари, которые говорят соответственно «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей», «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей», ..., «Слева от меня лжецов на больше, чем рыцарей». Понятно, что фразы лжецов ложны, так как слева от каждого из них не более лжецов. Фраза самого левого рыцаря верна, так как слева от него стоит лжецов и рыцарей. Фразы следующих рыцарей верны, так как для каждого следующего количество лжецов не изменяется, а количество рыцарей увеличивается на , т. е. разница между лжецами и рыцарями уменьшается на .
Баллы за оценку и пример суммируются.
+8 б. Оценка — доказано, что лжецов не менее 50.
В отсутствие верной оценки оценивается следующее продвижение.
+6 б. Доказано, что если лжецов, то фразы, начиная с «Слева от меня лжецов набольше, чем рыцарей» и до «Слева от меня лжецов на 99 больше, чем рыцарей» ложны.
+7 б. Пример — приведена верная расстановка рыцарей и лжецов с указанием сказанных ими фраз (либо иным способом доказано, что такая расстановка существует). # hse-vp-2023-final-g7 / solutions / page 6 ## Best Text В случае, если не указаны некоторые фразы, но из самой конструкции они очевидны (например, фразы рыцарей), баллы не снижаются.
В отсутствие верного примера используется наибольший подходящий критерий.
+3 б. Приведена подходящая расстановка рыцарей и лжецов без указания сказанных ими фраз.
+5 б. Приведена расстановка......Р, и ошибочно указано, что первый лжец го- ворит фразу «Слева от меня лжецов столько же, сколько рыцарей».
+6 б. Приведена расстановка......Р, и не указано, какую фразу говорит первый лжец. Следующее продвижение не оценивается.
0 б. Приведён только ответ.