Высшая проба 2024, 7 класс, задача 5

Сложная
Комбинаторика
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 7 класс, Заключительный этап
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 7 класс, Заключительный этап

( баллов) По кругу стоит шесть коробок, в одной из них камень. За ход можно из коробки взять один камень и положить по одному камню в соседние с ней коробки. А можно наоборот пару камней в коробках через одну заменить одним камнем в коробке между ними. Через некоторое количество ходов снова остался один камень. Может ли этот камень лежать в коробке, соседней с исходной?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Пронумеруем коробки по порядку числами от до . Определим, как может меняться суммарное число камней в коробках с номерами и . Если выполнить ход для тройки коробок или , это число увеличится или уменьшится на два. Если выполнить ход для любой другой тройки коробок, это число не изменится.

В исходный момент суммарное число камней в коробках и равно нулю. Поскольку при любом ходе оно меняется на или не меняется, оно всегда чётно, а значит, не может стать равным .

1

:— раскраска в два цвета: Ч Б Б Ч Б Б или Ч Б Ч Б Ч Б.

5
Максимум: 5

Похожие задачи

Высшая проба 2024, 7 класс, задача 6

(20 баллов) Назовём расстоянием между двумя клетками доски минимальное количество ходов, которое нужно шахматному коню, чтобы попасть из одной из них в другую. Назовём тройку клеток правильной, если попарные расстояния между ними одинаковые. Сколько правильных троек есть на доске 4 × 4? Примечание.
Сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 4

(15 баллов) Назовём ход ладьи банальным, если она смещается на кратное трём число клеток. В противном случае назовём ход оригинальным. Может ли ладья обойти поле 9×9, чередуя банальные и оригинальные ходы так, чтобы в каждой клетке ладья побывала ровно один раз?
Сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2026, 8 класс, задача 4

(16 баллов) В цирке работают 10 силачей, у которых есть 10 разных гирь. Каждый силач может поднять любую гирю не тяжелее определённого веса (и для каждого силача этот вес свой). Для номера нужно каждому силачу выдать по гире, которую он сможет поднять. Могло ли оказаться так, что есть ровно 3000 спо
Сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2024, 11 класс, задача 4

(15 баллов) Есть 4n отрезков длины x1, x2, ldots, x4n, где x1 = 1, x2 = 2, а при k > 2 выполнено xk = xk-1 + xk-2. Сколькими способами эти отрезки можно разбить на четвёрки так, чтобы из отрезков каждой четвёрки
Сложная
Комбинаторика