Высшая проба 2024, 7 класс, задача 6
( баллов) Назовём расстоянием между двумя клетками доски минимальное количество ходов, которое нужно шахматному коню, чтобы попасть из одной из них в другую. Назовём тройку клеток правильной, если попарные расстояния между ними одинаковые. Сколько правильных троек есть на доске ?
Примечание. Конь ходит на две клетки по вертикали и затем на одну клетку по горизонтали, или наоборот, на две клетки по горизонтали и на одну клетку по вертикали.
Прежде всего покрасим доску шахматной раскраской (т.е. в два цвета, так, чтобы соседние по стороне клетки были разных цветов). Заметим, что конь каждым своим ходом меняет цвет клетки, на которой стоит, на противоположный.
Теперь поймём, что все три клетки правильной тройки имеют один цвет. Действительно, в противном случае в тройке есть клетка, цвет которой совпадает с цветом одной из двух других клеток и не совпадает с цветом другой. Но тогда расстояния до них были бы различными, что ведёт к противоречию.
Значит, расстояние между клетками тройки должно быть кратно двум. Путём небольшого перебора можно убедиться, что это расстояние может быть равно только или .
Посчитаем количество троек чёрного цвета (белые тройки считаются аналогично). Докажем вначале, что троек с расстоянием не существует.
Занумеруем клетки доски по строкам снизу вверх числами от до (нижняя строка — ; верхняя — ).
Поищем все пары клеток, расстояния между которыми равны . Вот их список: . Между остальными парами расстояние (для каждой пары несложно найти поле, через которое можно дойти от одной до другой). Однако, никакие три из расстояний, перечисленных выше, не образуют тройку, значит, правильных троек с расстоянием не существует.
Теперь посчитаем тройки с расстоянием . Будем говорить, что пара клеток хорошая, если расстояние между клетками равно . Заметим, что две чёрные клетки, лежащие в противоположных углах, образуют хорошую пару. Чтобы получилась хорошая тройка, к ним можно добавить любую чёрную клетку, лежащую на стороне и при этом не в углу. Также, к любой из угловых клеток можно добавить хорошую пару клеток, лежащих на сторонах и не в углу. Таких хороших пар (потому что не являющихся хорошими две, см. выше). Итого, правильных троек с участием хотя бы одной угловой клетки . Теперь посмотрим на центральные клетки. Из аналогичных соображений есть правильных тройки с участием двух центральных клеток, и, кроме того, для каждой из них есть по правильных тройки с неугловыми клетками на стороне, итого тоже . Значит, правильных троек чёрного цвета . Точно таким же образом можно посчитать правильные тройки белого цвета, их также .
Итого, правильных троек.
Ответ: $4
A1 –суммируются. Всероссийская олимпиада школьнико3в «Высшая проба» 2024 год, 2 этап 3.