Высшая проба 2023, 8 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2023, 8 класс

( баллов) Действительные числа таковы, что

Какое наименьшее значение может принимать сумма ?

Ответ: .

Решение. Сложив второе равенство с последним, получим . Также отметим, что значение выражения может быть равно , например, при , , , . Легко проверить, что такие числа удовлетворяют всем условиям задачи.

с	к	к	к	к
з	с	к	к	к
з	з	с	к	к
з	з	з	с	к
з	з	з	з	с

Баллы за оценку и пример суммируются.

+7 б. Оценка — доказано, что рассматриваемая сумма не меньше 37.

+8 б. Пример — приведены числа, при которых сумма равна 37 (либо иным способом дока- зано, что такие числа существуют).

Максимум: 8

Похожие задачи

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+b=(9/c-d) и c+d=(25/a-b). Какое наименьшее значение может принимать величина a²+b²+c²+d²?

Сложная

Неравенства

Высшая проба 2025, 11 класс, задача 1

(15 баллов) Дан выпуклый многогранник. Разделим длину каждого ребра на сумму длин остальных рёбер и вычислим сумму полученных дробей. Докажите, что полученная сумма меньше 1,5.

Сложная

Неравенства

Стереометрия

Высшая проба 2026, 9 класс, задача 2

(13 баллов) Числа a, b, c являются длинами сторон остроугольного треугольника. Докажите неравенство a³+b³+abc>c³.

Сложная

Неравенства

Планиметрия

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 1

(15 баллов) Число ab есть произведение b последовательных натуральных чисел, наименьшее из которых равно a (в частности, a1=a). Найдите все пары натуральных чисел a, b, для которых выполнено равенство ab=2(ba).

Сложная

Выражения и преобразования