Высшая проба 2023, 9 класс, задача 5
( баллов) Действительные числа , , , таковы, что и . Какое наименьшее значение может принимать величина ?
Ответ: .
Решение. Если данные равенства домножить на знаменатели соответствующих дробей и сложить, мы получим . Докажем, что . Это следует из (эквивалентно ) и (эквивалентно ). Значит, .
Равенство достигается, если все указанные выше неравенства обращаются в равенства, то есть при и . Подставив эти соотношения в равенства, данные в условии, нетрудно найти подходящие значения, например , , , .
Другое решение. Обозначим через , а — через . Получаем и , что даёт
С другой стороны, из условия имеем и , откуда и . Аналогично получаем
Складывая, имеем
Заметив, что (что следует из ) и аналогично , получаем
Равенство может достигаться, только если все неравенства обращаются в равенства. Из следует , а из следует , откуда нетрудно получить подходящие примеры значений исходных переменных.
Замечание. Из приведённых решений можно понять, что выражение принимает значение только при четырёх наборах :
; ; ; $(-4,1,-4,-1)
Баллы за оценку и пример суммируются.
+17 б. Оценка — доказано, что a2 + b2 + c2 + d2 ⩾ 34.
В отсутствие полного доказательства оценки используется наибольший подходящий критерий.
+3 б. В работе присутствует равенство 2(a2 + b2 + c2 + d2) = ()2 + ()2 +.
- ()2 + ()2.
+3 б. В работе присутствует равенство ac − bd = 17 или 2ac − 2bd = 34.
+0 б. В работе присутствует равенство ad − bc = 8 или 2ad − 2bc = 16.
+0 б. Задача решается в предположении, что числа,,,целые.
+3 б. Пример — приведены подходящие числа,,,, для которых a2 + b2 + c2 + d2 = 34 (или доказано, что такие существуют). # hse-vp-2023-final-g9 / solutions / page 8 ## Best Text Следующее продвижение не оценивается.
0 б. Приведён только ответ.