Высшая проба 2025, 11 класс, задача 1
( баллов) Дан выпуклый многогранник. Разделим длину каждого ребра на сумму длин остальных рёбер и вычислим сумму полученных дробей. Докажите, что полученная сумма меньше .
Решение. Обозначим за длины ребер многогранника, а за — сумму длин всех ребер многогранника. Каждое ребро многогранника входит в две грани, которые являются многоугольниками. Отсюда следует, что для каждого ребра имеется как минимум два непересекающихся набора других ребер, длины которых в сумме больше, чем длина этого ребра (по неравенству многоугольника). Это значит, что длина каждого ребра многогранника всегда меньше, чем , а значит, сумма длин всех ребер, кроме одного, всегда больше, чем . Теперь запишем сумму дробей из условия и заменим в каждой дроби знаменатель на — от этого сумма строго увеличится, но станет равной
Замечание. Число нельзя уменьшить, как показывает пример (один из возможных) правильной треугольной пирамиды, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной , и боковыми ребрами равными : уменьшая , мы будем получать суммы, сколь угодно близкие к .
Комментарий. Для произвольных положительных чисел , не являющихся длинами ребер многогранника, неравенство неверно — например, возьмем , , затем устремим , и тогда сумма из условия будет не меньше, чем
которое может быть сколь угодно большим при любом фиксированном . Несмотря на это, многие участники олимпиады доказывали неравенство, не используя условие о многограннике. Все такие решения были оценены в баллов
Верное доказательство.
Доказано, что длина ребра строго меньше трети суммы длин всех ребер.
Решение не использует условие о многограннике.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.