Высшая проба 2026, 11 класс, задача 3

Ответ. , или вершин.

Решение. Пример. На вершин подходят примеры правильного октаэдра и правильной треугольной призмы (а также их аффинные образы), а на меньшее число можно убрать одну или две точки из этих примеров (например, подойдут четырехугольная пирамида с параллелограммом в основании и любой тетраэдр).

Оценка. Покажем, что и более вершин у такого многогранника быть не может. Вначале докажем вспомогательное утверждение.

Утверждение. Пусть выпуклый многогранник имеет пять или более вершин. Тогда существует вершина, после удаления которой остальные вершины не все будут лежать в одной плоскости.

Доказательство утверждения. Предположим противное, т.е. что существует некоторый многогранник с или более вершинами, для каждой из которых остальные лежат в одной плоскости. Возьмем произвольные его пять вершин . Тогда обе четверки и лежат в одной плоскости, но эти плоскости пересекаются по трем точкам , а значит, эти плоскости совпадают. Таким образом, все пять вершин лежат в одной плоскости. Это верно для любой пятерки вершин, поэтому и любая четверка вершин лежит в одной плоскости. Значит, все вершины лежат в одной плоскости, а это противоречит тому, что это вершины выпуклого многогранника. Утверждение доказано.

Из утверждения следует, что если существует выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию задачи с вершинами, то существует и удовлетворяющий условию многогранник с вершинами (так как множество четверок тетраэдров у многогранника с удаленной вершиной содержатся в множестве четверок тетраэдров у исходного многогранника). Таким образом, достаточно доказать отсутствие таких многогранников с ровно вершинами, что будет сделано от противного. Предположим, что существует требуемый многогранник с вершинами. Тогда есть такой многогранник с вершинами. Обозначим за количества вершин, ребер и граней этого многогранника соответственно. В каждой вершине сходится не менее трех ребер, значит, , откуда , т.е., .

Покажем, что у многогранника есть хотя бы одна треугольная грань. Пусть такой грани нет, тогда , откуда из формулы Эйлера , а значит, , что противоречит выведенному выше условию на количество ребер. Значит, есть хотя бы одна треугольная грань.

Рассмотрим эту грань, назовем ее . Помимо вершин есть точки, которые обязаны находиться на равном расстоянии от плоскости этой грани (в противном случае, два тетраэдра с вершинами в двух точках на разном расстоянии от плоскости треугольной грани и сама эта треугольная грань образуют два тетраэдра с заведомо различными объемами), а значит, они находятся в параллельной плоскости (так как плоскость грани не может разделять вершины выпуклого многогранника). Если эти точки образуют не параллелограмм, то очевидно найдутся два треугольника разной площади с вершинами в этой четверке, и тогда тетраэдры, образованные этими двумя треугольниками и любой вершиной из параллельной грани, будут иметь различные объемы. Поэтому эти вершины образуют параллелограмм (назовем его ).

Рассмотрим ребро и вторую грань, содержащую это ребро — без ограничения общности, третья вершина этой грани , а точка не лежит в этой грани (из двух смежных с вершин как минимум одна не лежит в плоскости с ), кроме того, точки и тоже не лежат в плоскости грани . Так как они лежат по одну сторону от плоскости треугольника , в силу равенства объемов тетраэдров , и точки удалены на одно расстояние от плоскости , т.е. плоскость параллельна плоскости . Рассматривая тетраэдры с основанием в , убеждаемся, что и должна находиться на том же расстоянии от плоскости , что и , значит, лежит в плоскости и тоже параллелограмм. Аналогичными рассуждениями получаем, что все вершин нашего многогранника — это в точности вершин параллелепипеда.

Теперь рассмотрим вершины параллелепипеда (обозначения выбраны в соответствии с рассуждением выше). Объем тетраэдра вдвое больше объема тетраэдра , так как они имеют общее основание , а расстояние от до плоскости вдвое больше, чем расстояние от до этой плоскости. Это противоречие показывает, что и более вершин у такого многогранника быть не может