Высшая проба 2026, 9 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2026, 9 класс

( баллов) Числа , , являются длинами сторон остроугольного треугольника. Докажите неравенство .

Решение. Будем считать, что превосходит и (иначе неравенство тривиально). Преобразуем левую часть: , так как в треугольнике . Кроме того, , так как в остроугольном треугольнике . Последнее выражение равно . Неравенство доказано.

Верное доказательство.

Задача решена только в предположении, когда— наибольшая сторона, но это предположение не отмечено явно.

Написано неравенство треугольника и неравенство^^^2 и есть попытки их использования, не приведшие к доказательству.

Максимум: 13

Похожие задачи

Высшая проба 2026, 8 класс, задача 3

(16 баллов) В треугольнике ABC точка D - середина AB, а точка E - середина AC. На стороне AC выбрана точка F такая, что AF=2FC. Известно, что DF - биссектриса угла angle CDE, angle B=60^circ. Найдите угол angle BAC.

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2025, 8 класс, задача 3

(15 баллов) Дан лист бумаги в форме треугольника площади 1. Верно ли, что из него обязательно можно вырезать два прямоугольника суммарной площади 2/3?

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2023, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+b=(9/c-d) и c+d=(25/a-b). Какое наименьшее значение может принимать величина a²+b²+c²+d²?

Сложная

Неравенства

Высшая проба 2022, 8 класс, задача 5

(20 баллов) Имеется 111 палочек длин 1, 2, 3,..., 111. Их выкладывают по кругу в некотором порядке. Обязательно ли найдутся лежащие подряд три палочки, из которых можно сложить треугольник? Напоминаем, что «вырожденный треугольник» не является треугольником.

Сложная

Планиметрия