Высшая проба 2025, 8 класс, задача 3

Ответ. Верно.
Решение. Докажем, что из любого треугольника площади можно вырезать два прямоугольника с суммой площадей, равной . Вначале рассмотрим случай прямоугольного треугольника ABC. Отметим на катете BC точки D, E, делящие его на три равные по длине части, а на гипотенузе точки K, M , тоже делящие ее на три равные по длине части.
Прямые DK и EM параллельны прямой AB. Пусть L — проекция точки K на прямую EM , а N — проекция точки M на прямую AB. Докажем, что сумма площадей прямоугольников EDKL и CEM N равна от площади треугольника ABC. Действительно, каждый из трех прямоугольных треугольников BDK, KLM и M N A подобен исходному треугольнику ABC с коэффициентом подобия , поэтому, площадь каждого из них составляет от площади ABC, а в сумме — от площади ABC. Оставшаяся площадь занята упомянутыми прямоугольниками, и она равна от площади ABC.
Пусть теперь ABC — произвольный треугольник. Проведем из вершины наибольшего угла B высоту BT (в остроугольном треугольнике можно из любого). Для каждого из образовавшихся прямоугольных треугольников BCT и ABT построим по два прямоугольника EDKL, T EM N и RP DE, SQET методом, описанным выше. При таком построении прямоугольники двух разных пар будут иметь общую сторону, поэтому их объединение также будет прямоугольником (т.е. P KLR и SQM N — прямоугольники). Суммарная площадь каждой пары прямоугольников EDKL, T EM N и RP DE, SQET составляет от площади соответствующих прямоугольных треугольников, поэтому суммарная площадь их объединения — пары прямоугольников P KLR и SQM N — составляет от площади треугольника AB