Высшая проба 2023, 8 класс, задача 6
( баллов) На столе лежит кучек конфет. В одной кучке лежит конфета, в другой — две, в третьей — , ..., в последней — . Петя и Вася играют в следующую игру, делая
ходы по очереди; начинает Петя. За один ход игрок берёт одну конфету из любой кучки. Если
игрок забрал из кучки последнюю конфету, то он её съедает, а иначе выбрасывает. Игра продолжается до тех пор, пока все конфеты из кучек не будут съедены или выброшены. Какое наибольшее
количество конфет может гарантированно съесть Петя?
Ответ: .
Решение. Понятно, что Петя может съесть конфету, например, если самым первым ходом заберёт конфету из кучки с конфетой. Докажем, что Вася может помешать Пете съесть больше конфеты. Для этого Вася будет действовать следующим образом. Если в какой-то кучке осталась ровно конфета, он заберёт её и съест. Если же кучек с конфетой нет, он будет брать конфету из любой кучки, в которой более конфет. Для начала поймём, почему Вася всегда сможет сделать ход по такой стратегии. Предположим, что в какой-то момент Вася не может сделать ход, то есть в каждой кучке не больше конфет, при этом нет кучек с конфетой. Тогда в каждой кучке ровно конфеты, и перед ходом Васи осталось чётное количество конфет. С другой стороны, изначально на столе конфет было ... , т. е. чётное количество. Значит, после хода Пети должно оставаться нечётное количество конфет, а после хода Васи — чётное количество, противоречие. Теперь докажем, что при такой стратегии Васи Петя не сможет съесть больше конфеты. Заметим, что если после какого-то хода Пети нет кучек из конфеты, то их больше никогда и не будет. Действительно, кучки, из которых берёт конфеты Вася, после его хода не могут состоять только из конфеты, а все кучки из конфеты, которые оставляет Петя, Вася сразу же съедает следующим ходом. Таким образом, если Петя на первом ходу съест кучку из конфеты, больше он конфет никогда не съест. Если же он не будет этого делать, её следующим ходом съест Вася, а Петя успеет за свой первый ход сделать не более одной новой кучки из конфеты. Если она всё-таки появится (из кучки с конфетами), и Петя не съест её на своём втором ходу, то он не съест вообще ничего, так как новой кучки из конфеты на втором ходу он образовать не сможет. А если съест, то, как и ранее, больше ничего съесть не сможет. Итак, у Васи есть стратегия, позволяющая не дать Пете съесть более конфеты
Используется наибольший подходящий критерий.
20 б. Приведена верная стратегия Васи с объяснением.
18 б. Задача верно решена в необоснованном предположении, что Петя на первом ходу съест 1 конфету из кучки с 1 конфетой.
10 б. Приведена верная стратегия Васи без верного объяснения.
5 б. Задача решена в предположении, что ни один из игроков не трогает кучки с 2 конфетами, если есть хотя бы одна кучка другого размера.
0 б. Приведён только ответ.