Высшая проба 2023, 10 класс, задача 5

Ответ: .

Решение. Предположим, что делится на квадрат какого-то простого числа . Тогда у него есть делитель ; но два квадрата целых чисел могут отличаться на , только если это и . Пусть делится на какие-то два простых числа и . Без ограничения общности можно считать, что . Из условия, что любой делитель, уменьшенный на , является квадратом, можно записать . Вычтем из третьего уравнения первое, получим . Это можно переписать . Так как — простое число, один из множителей в правой части должен делиться на . Заметим, что из условия следует, что , откуда . Поэтому и, так как , не может делиться на . Значит, должно делиться на . При этом и , откуда должно быть в точности равно . Итак, получили, что . Кроме того, так как должно быть равно оставшемуся множителю, т. е. . Значит, . Отсюда видно, что числа и разной чётности. Но так как они оба простые и , получаем, что . Подставляя , получаем , откуда, во-первых, , а во-вторых, . Тогда и . Приравнивая, получаем квадратное уравнение , корнями которого являются числа и , откуда равно или . Но так как должно быть простым, то остаётся единственный вариант . Таким образом, единственный возможный случай — это . Понятно, что других простых чисел в разложении уже быть не может