Высшая проба 2023, 11 класс, задача 3

( баллов) Натуральные числа , , таковы, что . Найдите
наибольшее возможное значение величины
.

Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что , так как НОД двух натуральных чисел не превосходит каждое из них. Аналогично получаем, что , а также . Складывая эти три неравенства, получаем .

В качестве примера на можно предъявить, например, . В этом случае .

Баллы за оценку и пример суммируются.

+14 б. Оценка — доказано, что рассматриваемая сумма не превосходит 3000.

+14

В отсутствие такого доказательства оценивается следующее продвижение.

+4 б. Замечено, чторазличных натуральных чисел не превосходит их разности, но дальнейших продвижений нет.

+1 б. Пример — приведены числа,,, для которых рассматриваемая сумма равна 3000 (либо иным способом доказано, что такие числа существуют).

Следующие продвижения не оцениваются.

0 б. Приведён только ответ.

0 б. Неполный перебор, в котором отсутствует разбор одного из случаев, и этот случай не аналогичен разобранным.

Максимум: 14

Похожие задачи

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 5

(30 баллов) Сережа задумал натуральное число n, не превосходящее 2019. Сначала он делит его с остатком на 202, получая неполное частное q₁ и остаток r₁. Затем, на i-ом шаге (i=2,3,ldots) он делит с остатком число overline{r_i-1q_i-1} на 202, получая неполное

Очень сложная

Теория чисел

Высшая проба 2023, 10 класс, задача 5

(20 баллов) Найдите все составные натуральные числа n, обладающие следующим свойством: каждый натуральный делитель числа n (в частности, само n), уменьшенный на 1, является квадратом целого числа.

Очень сложная

Теория чисел

Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 3

(20 баллов) В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ldots каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Докажите, что среди чисел Фибоначчи нет ни одной натуральной степени числа 7.

Очень сложная

Теория чисел

Высшая проба 2026, 7 класс, задача 6

(22 балла) Некоторые клетки квадрата n × n покрасили в красный цвет, при этом в каждой строке и в каждом столбце покрашено ровно 100 клеток. Известно, что никакие две красные клетки не касаются друг друга сторонами или углами. При каком наименьшем n такое могло произойти?

Очень сложная

Теория чисел

Комбинаторика