Высшая проба 2023, 11 класс, задача 3
( баллов) Натуральные числа , , таковы, что . Найдите
наибольшее возможное значение величины
.
Ответ: .
Решение. Заметим, что , так как НОД двух натуральных чисел не превосходит каждое из них. Аналогично получаем, что , а также . Складывая эти три неравенства, получаем .
В качестве примера на можно предъявить, например, . В этом случае .
Баллы за оценку и пример суммируются.
+14 б. Оценка — доказано, что рассматриваемая сумма не превосходит 3000.
В отсутствие такого доказательства оценивается следующее продвижение.
+4 б. Замечено, чторазличных натуральных чисел не превосходит их разности, но дальнейших продвижений нет.
+1 б. Пример — приведены числа,,, для которых рассматриваемая сумма равна 3000 (либо иным способом доказано, что такие числа существуют).
Следующие продвижения не оцениваются.
0 б. Приведён только ответ.
0 б. Неполный перебор, в котором отсутствует разбор одного из случаев, и этот случай не аналогичен разобранным.