Высшая проба 2023, 11 класс, задача 1
( баллов) Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?
Ответ
Ответ: нет.
Решение. Предположим, что такое возможно. Без ограничения общности можно считать, что число покрашено в первый цвет. Выберем произвольное число второго цвета. Заметим, что тогда должно быть третьего цвета, — второго, — третьего и т. д. Таким образом, все числа, большие , покрашены во второй или третий цвет. С другой стороны, так как покрашен во второй цвет, а — в третий, число должно быть покрашено в первый цвет, противоречие.
Используется наибольший подходящий критерий.
15 б. Приведено любое полное решение задачи.
10 б. Доказано, что с некоторого момента чередуются числа двух цветов.
10 б. Разобран случай, когда числа 1 и 2 одного цвета.
2 б. Разобран случай, когда числа 1 и 2 разных цветов, и получено противоречие на малень- ких числах.
Следующие продвижения не оцениваются.
0 б. Рассмотрены несколько частных случаев раскраски натурального ряда.
0 б. Приведён только ответ. Снимаются баллы за следующие недочёты в в остальном верном решении.
−2 б. Утверждается, но никак не обосновывается, что с некоторого момента чередуются числа двух цветов.