Высшая проба 2023, 10 класс, задача 3
( баллов) Для действительных чисел и докажите, что
Решение. Домножив обе части на произведение знаменателей, получим . Раскрыв скобки в правой части и перенеся отрицательные слагаемые в правую часть, получим . Это неравенство получается суммированием трёх следующих неравенств, справедливых для любых и : • . Это неравенство равносильно тому, что . • . Последнее неравенство равносильно тому, что . • . Последнее неравенство равносильно тому, что .
Другое решение. Воспользуемся неравенством Коши для двух чисел (неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим): для положительных и верно . Пусть и и положительны в силу того, что и . Тогда по неравенству Коши получаем .
Используется наибольший подходящий критерий: # hse-vp-2023-final-g10 / solutions / page 4 ## Best Text.
15 б. Приведено любое полное решение задачи.
5 б. Применено неравенство Коши к двум исходным дробям (как во втором решении).
5 б. Применено транснеравенство к числителям и знаменателям дробей левой части исход- ного неравенства: x2 −y2 −x2 −y2 −.
- ⩾ +. y2 +x2 +x2 +y2 +.