Высшая проба 2023, 11 класс, задача 4
( баллов) В окружность вписан треугольник ABC такой, что . Биссектриса внешнего угла B пересекает в точке M. Прямая, параллельная BM, пересекает стороны BC,
AB и продолжение стороны CA за точку A в точках P, Q и R соответственно. Прямая MR вторично
пересекает в точке X. Докажите, что точки B, P, Q, X лежат на одной окружности.
Решение. Рис. .
Докажем, что точки , , , лежат на одной окружности . Действительно, как накрест лежащие при параллельных прямых и , а как опирающиеся на одну дугу в , откуда .
Теперь получаем из окружности и из окружности . Значит, , откуда и следует, что точки , , , лежат на одной окружности.
Используется наибольший подходящий критерий.
15 б. Приведено любое полное решение задачи.
7 б. Доказано, что один из четырёхугольниковиливписанный. Следующее продвижение не оценивается.
0 б. Счёт углов, из которого не сделан вывод о вписанности одного из четырёхугольниковили.