Высшая проба 2024, 10 класс, задача 2
( баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов с целыми коэффициентами, что ?
Пусть . Тогда, согласно условию, число — корень трёхчлена , то есть , где — второй корень трёхчлена. Поскольку целое, число также целое. Заметим, что однозначно задаётся выбором : , откуда , потому в действительности нам достаточно посчитать количество таких целых чисел , что число также целое.
Итак, задача свелась к подсчёту количества таких целых , что . Это условие равносильно делимости на , поэтому количество искомых равно числу целых делителей . Это число равняется (дополнительный множитель двойка появился из-за того, что отрицательные нам также подходят).
Ответ: .
посчитано значение((1000)) без дальнейших содержательных продви- жений,илирассмотрентолькослучайq = 0,илирассматриваютсядействительныеpиq вместо целых, или рассмотрен дискриминант без дальшейшего перехода к уравениям в целых числах.
рассмотрение дискриминанта с переходом к уравенениям в целых числах, получилось уравнение вида ab = 4000, гдеицелые. число решений не найдено или найдено неверно;.
началоавторскогорешения,написановыражение,котороедолжнобыть целым, или другое аналогичное выражение, дальшейших продвижений нет.
кроме предыдущего есть разумная попытка рассмотрения делителей 1000 ссущественнымипроблемами(например,необъясняется,почемунужнорассматривать их, или почему им соответствуют трёхчлены с целыми коэффициентами).
авторское решение, потеряны отрицательные числа.
появление 33-го случая, который на самом деле не подходит.
то, что число делителей 1000 равно 16, утверждается без доказательства.