Сложная
Алгебра
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 10 класс, Заключительный этапВысшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 10 класс, Заключительный этап

Высшая проба 2024, 10 класс, задача 2

( баллов) Сколько существует таких приведённых квадратных трёхчленов с целыми коэффициентами, что ?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Пусть . Тогда, согласно условию, число — корень трёхчлена , то есть , где — второй корень трёхчлена. Поскольку целое, число также целое. Заметим, что однозначно задаётся выбором : , откуда , потому в действительности нам достаточно посчитать количество таких целых чисел , что число также целое.

Итак, задача свелась к подсчёту количества таких целых , что . Это условие равносильно делимости на , поэтому количество искомых равно числу целых делителей . Это число равняется (дополнительный множитель двойка появился из-за того, что отрицательные нам также подходят).

Ответ: .

1

посчитано значение((1000)) без дальнейших содержательных продви- жений,илирассмотрентолькослучайq = 0,илирассматриваютсядействительныеpиq вместо целых, или рассмотрен дискриминант без дальшейшего перехода к уравениям в целых числах.

0
2

рассмотрение дискриминанта с переходом к уравенениям в целых числах, получилось уравнение вида ab = 4000, гдеицелые. число решений не найдено или найдено неверно;.

7
3

началоавторскогорешения,написановыражение,котороедолжнобыть целым, или другое аналогичное выражение, дальшейших продвижений нет.

4
4

кроме предыдущего есть разумная попытка рассмотрения делителей 1000 ссущественнымипроблемами(например,необъясняется,почемунужнорассматривать их, или почему им соответствуют трёхчлены с целыми коэффициентами).

7
5

авторское решение, потеряны отрицательные числа.

-2
6

появление 33-го случая, который на самом деле не подходит.

-1
7

то, что число делителей 1000 равно 16, утверждается без доказательства.

-2
Максимум: 7

Похожие задачи

Высшая проба 2026, 8 класс, задача 5

(20 баллов) В лаборатории тестируют два одинаковых телефона. Каждый телефон в течение часа равномерно заряжается от 0% до 100%, после чего его тут же отключают от зарядки. В течение двух часов телефон равномерно разряжается до 20%, после чего он переходит в режим энергосбережения и равномерно разряж
Сложная
Алгебра

Высшая проба 2025, 8 класс, задача 2

(15 баллов) Квадрат состоит из четырёх ячеек. В каждой ячейке изначально записана единица. За один ход можно сделать одно из двух действий. Первое возможное действие: можно выбрать верхнюю или нижнюю строку и любые числа x и y, каждое из которых не меньше 1 и не больше 2, а затем умножить левое числ
Сложная
Алгебра
Комбинаторика

Высшая проба 2020, 8 класс, задача 3

(20 баллов) Имеется прямоугольный параллелепипед. Вася считает, что при увеличении каждого из его рёбер на 1 см полная поверхность параллелепипеда увеличится на 9 см2, а объём увеличится на 5 см3. Может ли он оказаться прав? Замечание. Прямоугольный параллелепипед - пространств
Сложная
Алгебра
Стереометрия

Высшая проба 2025, 9 и 10 классы

(15 баллов) Даны многочлены P(x) и Q(x), оба степени n со старшими коэффициентами 1. У каждого из них ровно n различных целых корней. Известно, что все корни многочлена P(x) чётны, а все корни многочлена Q(x) нечётны. Докажите, что у многочлена P(x) + Q(x) не может быть целых корней.
Сложная
Алгебра
Теория чисел