Высшая проба 2026, 8 класс, задача 5
( баллов) В лаборатории тестируют два одинаковых телефона. Каждый телефон в течение часа равномерно заряжается от до , после чего его тут же отключают от зарядки. В течение двух часов телефон равномерно разряжается до , после чего он переходит в режим энергосбережения и равномерно разряжается до в течение ещё одного часа. Как только телефон разряжается полностью, его снова ставят на зарядку, и цикл повторяется.
Час назад суммарный заряд обоих телефонов составлял , полчаса назад он составлял , а сейчас он равен . Каким будет суммарный заряд телефонов через полтора часа?
Ответ. .
Решение. Телефон в течение тестирования находится в трех различных состояниях: зарядки, разрядки и энергосбережения.
) Если телефон в течение получаса находится в одном состоянии, его уровень заряда изменится на величину, кратную .
) В течение позапрошлого получаса суммарное изменение заряда телефонов составило некратную величину, в течение прошлого - тоже. Любое состояние телефона длится не менее часа, а значит, телефон не может за один час поменять состояние дважды. Это значит, что в течение прошлого получаса и позапрошлого получаса состояние изменилось у разных телефонов. Иными словами, час назад одному из телефонов оставалось меньше получаса до изменения состояния (назовем его первым), а другому - от получаса до часа (назовем его вторым). Заметим, что если телефон не заряжается и ему остается менее часа до смены состояния, то его заряд составляет менее . Также заметим, что если телефон заряжается, и до смены состояния ему остается от получаса до часа, то его заряд менее . Значит, если первый телефон час назад не находился на зарядке, то суммарный заряд телефонов не мог превысить . Получаем, что час назад первый телефон находился на зарядке.
) Рассмотрим второй телефон. Если бы он час назад находился в режиме энергосбережения, его заряд не превышал бы , а суммарный заряд телефонов никак не мог бы равняться . С другой стороны, если второй телефон час назад находился бы на зарядке, его заряд за полчаса увеличился бы на , в то время как заряд первого телефона мог либо увеличиться, либо не измениться, либо уменьшиться не более, чем на . Тогда суммарный заряд телефонов увеличился бы за позапрошлые полчаса, что неверно.
Получаем, что первый телефон час назад находился на зарядке, а второй - разряжался, полчаса назад первый телефон уже разряжался, второй тоже продолжал разряжаться, а в текущий момент второй телефон уже находится в режиме энергосбережения.
Теперь заметим, что за прошлые полчаса второй телефон разрядился на (так как не перешел в режим энергосбережения), а суммарный заряд телефонов уменьшился на . Значит, заряд первого телефона за эти полчаса увеличился на . Пусть в течение этого получаса первый телефон заряжался часов. Тогда изменение его заряда составило , откуда .
Раз час назад телефону до полной зарядки не хватало часа, его заряд составлял . Тогда заряд второго телефона в этот момент составлял .
Получаем, что первый телефон полностью зарядился минуту назад, а второй телефон полностью разрядится через минут. Первый телефон перейдет в режим энергосбережения через часа разрядки, то есть спустя час и минут от текущего момента и за минуту разрядится от до . Второй телефон за минут зарядки зарядится до , а значит, суммарный заряд телефонов через полтора часа составит $88\
Верное решение.
В решении при расчетах допущена арифметическая ошибка Или Дан ответ не на вопрос из условия, но все остальное верно Или Другие незначительные недочеты в решении.
Обоснование начальной конфигурации верно, вычисления не закончены или в конце неверны. Ход решения верный, доказательство верное.
Небольшие неточности в доказательстве, но ответ получен верно или неверно из-за арифметической ошибки. Например, не обоснованно, почему второй телефон мог потерятьв разрядке в разных режимах.
Не сказано или не обосновано, почемучас назад один телефон заряжался, а второй разряжался, но остальное верно, и получен верный ответ или верно с обоснованием составлено уравнение (даже неявно) и найдено, чтомин илимин (в зависимости от промежутка, про который речь), но ответа нет или ответ ошибочный.
Подобран верный пример без обоснований Или Не сказано, почемучас назад один телефон заряжался, а второй разряжался и верно найдено(), а потом ошибка, или расчеты не доведены до конца.
Исключены логически какие-то ситуации (например, сказано, что в начале оба телефона не могли быть в режиме энергосбережения) или приведен верный вывод, что один телефон в начале разряжался, а второй заряжался, но дальнейших продвижений нет.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.
Баллы за разные критерии не суммируются.