Высшая проба 2025, 11 класс, задача 2
( баллов) Многочлен со старшим коэффициентом имеет только целые коэффициенты, среди которых есть отрицательные. Обязательно ли многочлен имеет хотя бы один отрицательный коэффициент?
Ответ
Ответ. Не обязательно.
Решение. Покажем несколько примеров приведенных многочленов с целыми коэффициентами, среди которых есть отрицательные, у которых -я степень не имеет отрицательных коэффициентов.
Пример . Рассмотрим многочлен , где — достаточно большое натуральное число (на самом деле, достаточно взять ). Проверим, что и имеют только положительные коэффициенты:
Теперь положим . Этот многочлен приведенный, имеет только целые коэффициенты и один отрицательный. Покажем, что и тоже имеют только неотрицательные коэффициенты:
Единственный отрицательный коэффициент в этой сумме есть только у при , он равен , но коэффициент при у равен , поэтому, вся сумма не имеет отрицательных коэффициентов.
Единственный отрицательный коэффициент в этой сумме есть только у при , и он равен , но коэффициент при уже в равен , поэтому вся сумма гарантированно не имеет отрицательных коэффициентов. Поэтому и не имеют отрицательных коэффициентов, а значит и для всех бо́льших не имеет отрицательных коэффициентов, так как любое число, большее , представимо в виде суммы двоек и троек.
Идея этого примера такова: рассмотрим многочлен . Его любая степень имеет положительные коэффициенты (нет нулевых). «Пошевелив» (на данный момент нулевой) коэффициент при в отрицательную сторону мы получим многочлен, коэффициенты степеней которого «мало» отличаются от коэффициентов тех же степеней многочлена , так как коэффициенты его степеней являются непрерывными функциями от параметра , поэтому, при малом степени многочлена будут иметь только положительные коэффициенты.
На основе этого легко построить приведенный целочисленный многочлен, у которого все степени имеют только положительные коэффициенты. Аналогично подходит многочлен и его шевеления для всех при , тогда дает нам нужный пример многочлена , имеющий произвольную степень .
Пример . Рассмотрим . Тогда многочлены и тоже имеют только положительные коэффициенты, а значит, и для всех многочлен будет иметь только положительные коэффициенты. Аналогичные примеры можно построить для любой степени, не меньшей : (почти все коэффициенты равны , ). В этом примере минимальная степень многочлена равна .
Пример . Пусть . Рассмотрим (все коэффициенты, кроме одного, равны ). Тогда и не имеют отрицательных коэффициентов, а значит, и для всех многочлен не будет иметь отрицательных коэффициентов. В этом примере модули коэффициентов не превосходят .
Замечания. . Данные примеры показывают, что для любого существует приведенный целочисленный многочлен степени с отрицательным коэффициентом, старшие степени которого не имеют отрицательных коэффициентов. Можно доказать, что если квадратичный или кубический многочлен имеет отрицательные коэффициенты, то его степени тоже будут иметь отрицательные коэффициенты.
. Для всякого можно построить целочисленный приведенный многочлен , степени которого вплоть до имеют отрицательные коэффициенты, а начиная с не имеют отрицательных коэффициентов
Приведен верный пример, его корректность доказана без ошибок.
Приведен верный пример, доказательство в целом верно, но в нем допущены неточности Или Пример построен с ошибкой, однако из доказательства легко восстанавливается верный пример, само доказательство верно Или Приведен верный пример, в доказательстве корректности пропущены некоторые шаги, но детали доказательства легко восстановить.
Приведен верный пример, в доказательстве корректности пропущены некоторые шаги, восстановление деталей доказательства нетривиально Или Доказательство корректности содержит грубые ошибки (например, основывалось на неверных утверждениях).
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.