Высшая проба 2025, 11 класс, задача 2
( баллов) Многочлен со старшим коэффициентом имеет только целые коэффициенты, среди которых есть отрицательные. Обязательно ли многочлен имеет хотя бы один отрицательный коэффициент?
Ответ. Не обязательно.
Решение. Покажем несколько примеров приведенных многочленов с целыми коэффициентами, среди которых есть отрицательные, у которых -я степень не имеет отрицательных коэффициентов.
Пример . Рассмотрим многочлен , где — достаточно большое натуральное число (на самом деле, достаточно взять ). Проверим, что и имеют только положительные коэффициенты:
Теперь положим . Этот многочлен приведенный, имеет только целые коэффициенты и один отрицательный. Покажем, что и тоже имеют только неотрицательные коэффициенты:
Единственный отрицательный коэффициент в этой сумме есть только у при , он равен , но коэффициент при у равен , поэтому, вся сумма не имеет отрицательных коэффициентов.
Единственный отрицательный коэффициент в этой сумме есть только у при , и он равен , но коэффициент при уже в равен , поэтому вся сумма гарантированно не имеет отрицательных коэффициентов. Поэтому и не имеют отрицательных коэффициентов, а значит и для всех бо́льших не имеет отрицательных коэффициентов, так как любое число, большее , представимо в виде суммы двоек и троек.
Идея этого примера такова: рассмотрим многочлен . Его любая степень имеет положительные коэффициенты (нет нулевых). «Пошевелив» (на данный момент нулевой) коэффициент при в отрицательную сторону мы получим многочлен, коэффициенты степеней которого «мало» отличаются от коэффициентов тех же степеней многочлена , так как коэффициенты его степеней являются непрерывными функциями от параметра , поэтому, при малом степени многочлена будут иметь только положительные коэффициенты.
На основе этого легко построить приведенный целочисленный многочлен, у которого все степени имеют только положительные коэффициенты. Аналогично подходит многочлен и его шевеления для всех при , тогда дает нам нужный пример многочлена , имеющий произвольную степень .
Пример . Рассмотрим . Тогда многочлены и тоже имеют только положительные коэффициенты, а значит, и для всех многочлен будет иметь только положительные коэффициенты. Аналогичные примеры можно построить для любой степени, не меньшей : (почти все коэффициенты равны , ). В этом примере минимальная степень многочлена равна .
Пример . Пусть . Рассмотрим (все коэффициенты, кроме одного, равны ). Тогда и не имеют отрицательных коэффициентов, а значит, и для всех многочлен не будет иметь отрицательных коэффициентов. В этом примере модули коэффициентов не превосходят .
Замечания. . Данные примеры показывают, что для любого существует приведенный целочисленный многочлен степени с отрицательным коэффициентом, старшие степени которого не имеют отрицательных коэффициентов. Можно доказать, что если квадратичный или кубический многочлен имеет отрицательные коэффициенты, то его степени тоже будут иметь отрицательные коэффициенты.
. Для всякого можно построить целочисленный приведенный многочлен , степени которого вплоть до имеют отрицательные коэффициенты, а начиная с не имеют отрицательных коэффициентов
Приведен верный пример, его корректность доказана без ошибок.
Приведен верный пример, доказательство в целом верно, но в нем допущены неточности Или Пример построен с ошибкой, однако из доказательства легко восстанавливается верный пример, само доказательство верно Или Приведен верный пример, в доказательстве корректности пропущены некоторые шаги, но детали доказательства легко восстановить.
Приведен верный пример, в доказательстве корректности пропущены некоторые шаги, восстановление деталей доказательства нетривиально Или Доказательство корректности содержит грубые ошибки (например, основывалось на неверных утверждениях).
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.