Высшая проба 2026, 10 класс, задача 1
(11 баллов) Дан многочлен . Существует ли натуральное , при котором многочлен не имеет отрицательных коэффициентов?
Ответ. Не существует.
Решение. Вычислим значения в и : , . Предположим, что существует , при котором многочлен не имеет отрицательных коэффициентов. Тогда возможны два варианта: оно четное, и оно нечетное. Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Пусть четное. Тогда , . Сумма коэффициентов многочлена , стоящих на нечетных местах, равна . Так как имеет некоторые строго положительные коэффициенты при нечетных степенях (например, коэффициент при равен ), обязан иметь отрицательные коэффициенты при некоторых других нечетных степенях, иначе указанная сумма не может быть равной нулю. Таким образом, не может быть четным.
Случай 2. Пусть нечетное. Тогда , . Сумма коэффициентов многочлена , стоящих на четных местах, равна . Так как имеет некоторые строго положительные коэффициенты при четных степенях (например, коэффициенты при и свободный член равны ), обязан иметь отрицательные коэффициенты при некоторых других четных степенях, иначе указанная сумма не может быть равной нулю. Таким образом, не может быть нечетным.
Отсюда следует, что такого не существует.
Верное решение.
Не предъявлен явно ненулевой коэффициент у.
Разобран только случай нечётного или только чётного, в котором показано, что существует нужный положительный коэффициент.