Высшая проба 2024, 11 класс, задача 6
( баллов) Сфера касается всех рёбер пирамиды, в основании которой лежит выпуклый -угольник. Покрасим в шахматном порядке углы между последовательными рёбрами при вершине вне многоугольника в синий и красный цвета. Докажите, что произведение синусов половинок синих углов равно произведению синусов половинок красных.
Решение.
Пусть — основание пирамиды, а — её вершина вне основания. Пусть — точки, в которых сфера из условия касается отрезков , соответственно, а — точки в которых она касается отрезков , соответственно. Далее (отрезки касательных к сфере из точки ) — обозначим длину каждого из них за .
Рассмотрим треугольник и обозначим его угол при вершине через (пусть он для определенности синий), а длины отрезков , обозначим через , соответственно. Имеем (отрезки касательных к сфере из точки ) и аналогично . Тогда, согласно теореме косинусов для треугольника :
Откуда, прибавив к обеим частям , получим: . Или
Аналогично получаем аналогичные равенства для всех синих углов, а перемножив их получим, что квадрат произведения синусов половинок синих углов равен
Аналогично этому же произведению равен квадрат произведения синусов половинок красных углов. Осталось лишь заметить, что оба произведения положительны, потому и сами они равны.