Высшая проба 2024, 9 класс, задача 5

Сложная

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 9 класс, Заключительный этап

( баллов) Окружности и с центрами и касаются внешним образом в точке . На и выбраны точки и соответственно такие, что отрезки и касаются окружностей и пересекаются в точке . Докажите, что углы и равны.

Заметим, что четырёхугольник вписанный, причём коэффициент подобия треугольников и равен , где и радиусы окружностей и соответственно. Следовательно, , значит, — биссектриса треугольника . Обозначим угол через и через , тогда , , , , . Пусть , , тогда так как углы и равны, получаем, что . Наконец заметим, что из подсчёта углов при вершине . Из полученной системы уравнений находим требуемое: .

:—биссектриса треугольника. 1 2.

Максимум: 10

Похожие задачи

Высшая проба 2025, 8 класс, задача 3

(15 баллов) Дан лист бумаги в форме треугольника площади 1. Верно ли, что из него обязательно можно вырезать два прямоугольника суммарной площади 2/3?

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2021, 9 класс, задача 6

(32 баллов) В вершине A правильного треугольника ABC со стороной 3n метров (где n – натуральное число), стоит невидимый точечный робот, а в точке пересечения медиан треугольника ABC лежит мина. Роботу можно отдавать команду с двинуться на 1 метр в любом из 6 направлений, параллельных сторонам треуго

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2026, 9 класс, задача 3

(17 баллов) Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором angle B=90^circ. На стороне AB отметили точку D, а на стороне BC - точку E так, что прямая AC параллельна прямой DE, расстояние между прямыми AC и DE равно 1, а длина DE равна 1. Обязательно ли отрезок биссектрисы угла B, лежащий вну

Сложная

Планиметрия

Высшая проба 2026, 10 класс, задача 2

(13 баллов) На окружности отмечено 1000 синих точек. Известно, что каждая из них является вершиной равнобедренного треугольника, остальные вершины которого тоже синие. Могло ли оказаться так, что общее количество равнобедренных треугольников с синими вершинами составляет ровно 10000?

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика