Высшая проба 2024, 10 класс, задача 5
( баллов) Окружность описана около треугольника . Биссектриса пересекает в точке . Докажите, что длина проекции отрезка на прямую больше длины отрезка .
Заметим, что проекции отрезка на стороны и равны, потому без ограничения общности будем считать, что . Обозначим через и проекции точки на стороны и соответственно. Заметим, что точка — середина отрезка , и она лежит на отрезке . Четырёхугольник вписанный, поэтому , потому , следовательно, тупой, откуда .
сформулировано, что проекции точкина прямыеии середина отрезкалежат на одной прямой — прямой Симпсона, нет других комментариев про взаимное расположение проекции.
без доказательства используется, что точкалежит на отрезке, если не применим предыдущий критерий.
неравенство делится на косинус половины угла треугольника, ничего не сказано про положительность косинуса.
доказано нестрогое неравенство.
не разобран хотя бы 1 вырожденный случай (написанное решение для него не работает).
используется, что медиана не короче биссектрисы без доказательства.