Высшая проба 2024, 8 класс, задача 3

Заметим, что есть три вида кубиков с синей гранью, а именно, кубики с одной, двумя и тремя синими гранями.

Кубики с тремя синими гранями находятся только в вершинах куба, так что их штук.

Кубики с двумя синими гранями лежат на рёбрах куба, кроме его вершин. На одном ребре длины их поместится , таких рёбер , поэтому вместе на них кубиков. На ребре длины таких кубиков , а всего таких рёбер , поэтому на них кубика. Итого, есть кубиков с двумя синими гранями.

Кубики с одной синей гранью лежат на гранях куба, за исключением его рёбер. На гранях со сторонами и их по , а на гранях со сторонами и — по . Граней две, а граней четыре, поэтому всего кубиков с одной гранью .

Для того, чтобы сложить новый параллелепипед в нашем распоряжении всего кубиков.

Покажем, что требуемый параллелепипед не удастся сложить из или кубиков. Поскольку — простое число, параллелепипед из кубиков мог бы быть только размеров , но тогда его крайние кубики должны были бы иметь по синих граней, а таких у нас нет.

Число раскладывается на множители как . Но заметим, что для того, чтобы сложить параллелепипед с ребром нам понадобятся кубики с хотя бы синими гранями. Если же все рёбра больше , то они могут быть равны только и . Но тогда у нас есть ребра длины . Для того, чтобы они были синими, необходимо кубиков с тремя синими гранями, а также не менее кубиков с двумя синими гранями, чего мы обеспечить не можем.

Теперь приведём пример для кубиков. Искомый параллелепипед имеет размеры . Тогда на его рёбра уйдёт кубиков с тремя синими гранями и кубиков с двумя синими гранями. Хотя бы одна грань каждого из оставшихся кубиков синяя, так что требуемый параллелепипед легко складывается.

Ответ: $11