Высшая проба 2025, 7 класс, задача 2
( баллов) Заяц и лиса играют в следующую игру. На рисунке справа поляны изображены кружками; поляны называются соседними, если они соединены дорожкой. Сначала заяц выбирает одну из полян, потом лиса выбирает одну из оставшихся полян. Затем заяц и лиса по очереди (начиная с зайца) переходят на одну из соседних полян. Если после чьего-то хода лиса и заяц окажутся на одной поляне, лиса съест зайца и победит. После того, как лиса сделает ходов, она устанет, и тогда победит заяц. Лиса и заяц всё время видят друг друга. У кого из них есть стратегия, позволяющая победить независимо от ходов противника?
Ответ. У зайца.
Решение. Предложим стратегию, которая позволит ему не попадаться лисе сколь угодно долго.
Белые поляны на рисунке выше будем называть безопасными, а красные — опасными. Пусть во время первого хода заяц выберет любую безопасную поляну. Лиса обязана выбрать другую поляну, поэтому она не сможет съесть зайца до его первого хода.
Пусть на каждом своем ходу заяц будет переходить на безопасную поляну, на которой нет лисы и до которой лиса не сможет добраться следующим ходом. Докажем, что такая поляна всегда найдется. От любой безопасной поляны отходит ровно две тропинки до других безопасных полян. Если лиса находится на безопасной поляне, зайцу нельзя ходить на поляну с лисой и соседние с ней, а значит, он может выбрать из двух оставшихся полян. Ясно, что на каких бы двух различных безопасных полянах ни находились заяц и лиса, подходящая поляна найдется. Если же лиса находится на опасной поляне, она может следующим ходом попасть только на одну безопасную поляну, а значит, заяц всегда сможет выбрать из двух безопасных полян ту, до которой лиса не сможет добраться своим следующим ходом.
Значит, заяц сможет на протяжении любого количества ходов убегать от лисы.
Верное решение.
Не рассмотрено ни одного случая начального расположения игроков, в остальном решение верное.
Описана выигрышная стратегия зайца, но нет доказательства.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.