Высшая проба 2026, 8 класс, задача 2
( баллов) По кругу сидят гномов, перед каждым лежит чётное число кристаллов. Если бы каждый гном отдал половину своих кристаллов соседу справа, то у гномов кристаллов стало бы больше, а у всех остальных - меньше. У какого наибольшего количества гномов может стать больше кристаллов, чем было, если каждый отдаст половину своих кристаллов соседу слева? Ответ обоснуйте.
Ответ
Ответ. У гномов.
Решение. Рассмотрим двух сидящих рядом гномов, назовем их А и Б. Пусть А отдаст Б половину своих кристаллов, а Б отдаст половину кристаллов кому-то еще. Нетрудно видеть, что если у А больше кристаллов, чем у Б, то Б получит больше кристаллов, чем отдаст, а значит, общее количество кристаллов у него увеличится. Аналогично, если у А меньше кристаллов, чем у Б, то у Б уменьшится количество кристаллов, а если кристаллов у А и Б поровну, то количество кристаллов у Б не изменится.
По условию количество кристаллов у всех гномов изменилось, а значит, у любых двух гномов, сидящих рядом, не поровну кристаллов.
Выдадим каждому гному красный значок, если у него больше кристаллов, чем у соседа справа, иначе выдадим ему синий значок. Каждому гному достанется по одному значку, а значит, значков всего .
Пусть каждый гном с красным значком отдаст свой значок соседу справа.
Теперь легко проверить, что если каждый гном отдаст половину кристаллов соседу справа, то больше кристаллов станет только у обладателей красных значков. Таких гномов по условию , а значит, красных значков , а синих - .
Теперь заметим, что если каждый гном отдаст половину кристаллов соседу слева, то количество кристаллов увеличится только у владельцев синих значков, а их, как мы знаем, .