Высшая проба 2026, 7 класс, задача 3
( баллов) Четверо детей (не младше и не старше лет, возраст считается целым числом лет) сделали по два утверждения: одно истинное и одно ложное.
Первый: «Сумма наших возрастов нечётная. Мой возраст чётный.»
Второй: «Только у одного из нас нечётный возраст. Произведение наших возрастов равно .»
Третий: «Произведение наших возрастов нечётное. Мой возраст нечётный.»
Четвёртый: «Мы высказали наши утверждения в порядке возрастания возраста. Мы высказали наши утверждения в порядке убывания возраста.»
Сколько лет каждому из детей, если среди них нет ровесников? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Ответ. Первому лет, второму лет, третьему лет, четвертому года.
Решение. Начнем с двух утверждений третьего ребенка. Заметим, что если первое его утверждение верно, (произведение всех возрастов нечетное), то всем детям нечетное число лет, поэтому и второе его утверждение верно, что невозможно. Значит, произведение возрастов четно, а третьему ребенку нечетное число лет.
Теперь посмотрим на утверждения первого ребенка. В силу того, что ровно одно из двух сказанных им утверждений ложно, либо ему четное число лет и сумма возрастов всех детей четна, либо ему нечетное число лет и сумма возрастов всех остальных детей нечетна. В любом случае сумма возрастов второго, третьего и четвертого детей четная. Так как возраст третьего ребенка нечетный, либо у второго, либо у четвертого ребенка возраст нечетный. Тогда первое утверждение второго ребенка неверно, откуда произведение возрастов всех детей равно . Разложим это число на простые множители: . Заметим, что возраст ребенка, кратный , не может делиться еще и на , так как тогда он будет не менее . Значит, возраст одного из детей делится на . Но единственное число, кратное и не превышающее , равно . Из этого следует, что одному из детей лет.
Заметим, что у остальных детей возрасты не будут делиться на , а значит, у двоих детей возрасты будут делиться на . Так как среди детей нет ровесников, а также исходя из того, что эти возрасты не будут кратны , один из возрастов окажется равен , а другой - равен . Возраст оставшегося ребенка будет равен .
Исходя из утверждений четвертого ребенка, возрасты детей либо убывают, либо возрастают, поэтому третьему ребенку либо , либо лет. Мы знаем, что возраст третьего ребенка нечетный, поэтому ему лет, а возрасты убывают.
Тогда первому ребенку лет, второму лет, третьему лет, а четвертому года
Верное решение.
Доказано, что произведение возрастов детей равно 810. Или: из предположения, что произведение возрастов равно 810, сделаны выводы о возрасте детей.
Только ответ в правильном порядке без пояснений.