Высшая проба 2024, 9 класс, задача 2

Средняя

Комбинаторика

Источник:

Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2024, 9 класс, Заключительный этап

( баллов) Имеется карточек: по две штуки с числами . Требуется разложить эти карточки по стопкам так, чтобы:

любые две одинаковые карточки лежали в одной стопке;
если две карточки лежат в одной стопке, карточка с суммой чисел на них не лежит в той же стопке.

Каким минимальным количеством стопок можно обойтись?

Докажем, что двумя стопками обойтись не удастся. Предположим противное. Пусть карточки с числом лежат в первой стопке, тогда карточки с двойкой должны лежать во второй, а с четвёркой — снова в первой. Карточки с тройкой нельзя класть в первую стопку (т.к. ), значит они лежат во второй. Но тогда карточки с числом нельзя положить ни в первую стопку (т.к. ), ни во вторую (). Противоречие.

Теперь приведём пример для трёх стопок (число обозначает карточку с таким числом).

Первая стопка: .

Вторая стопка: .

Третья стопка: .

Ответ: тремя стопками.

А1 исуммируются.

Максимум: 0

Похожие задачи

Высшая проба 2026, 7 класс, задача 2

(16 баллов) Двадцать три одинаковых блинчика разделили поровну между семью гостями. Назовем кусочком часть блинчика, которая меньше, чем целый блинчик. Какое наименьшее число кусочков могло получиться?

Средняя

Теория чисел

Комбинаторика

Высшая проба 2025, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Заяц и лиса играют в следующую игру. На рисунке справа поляны изображены кружками; поляны называются соседними, если они соединены дорожкой. Сначала заяц выбирает одну из 7 полян, потом лиса выбирает одну из оставшихся 6 полян. Затем заяц и лиса по очереди (начиная с зайца) переходят на

Средняя

Комбинаторика

Высшая проба 2024, 7 класс, задача 2

(15 баллов) Даны две одинаковые стопки из восьми карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, ldots, 7. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, ldots, между карточками с числом k лежало ровно k карточек, ldots, между карточка

Средняя

Комбинаторика

Высшая проба 2024, 8 класс, задача 2

(15 баллов) Даны две одинаковые стопки из девяти карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, ldots, 8. Можно ли разложить эти карточки по кругу так, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, ldots, между карточками с числом k лежало ровно k карточек, ldots, между карточка

Средняя

Комбинаторика