Высшая проба 2024, 9 класс, задача 1
( баллов) Петя задумал число , а Вася — число , причём Петино число оказалось больше. Затем Петя нашёл значение выражения , а Вася — выражения . Обязательно ли полученное Петей число будет больше Васиного?
Ответ
Решение.
Рассмотрим разность новых чисел:
Заметим, что при любом , поэтому знаменатель полученной дроби всегда положителен. Рассмотрим числитель:
Множитель положителен, поскольку Петино число больше Васиного. Рассмотрим второй множитель как квадратный трёхчлен относительно :
Его дискриминант равен . Трёхчлен принимает только положительные значения, а значит, дискриминант неположителен. Равняться нулю он может только если , но в этом случае , что противоречит условию. Тогда дискриминант строго отрицателен, а поскольку коэффициент , стоящий при , всегда положителен, рассмотренный квадратный трёхчлен принимает только положительные значения. Значит, разность новых чисел всегда больше нуля, поэтому полученное Петей число всегда будет больше Васиного.