Высшая проба 2024, 9 класс, задача 3
( баллов) Диагонали трапеции () пересекаются в точке . Известно, что периметры треугольников и равны. Обязательно ли трапеция является равнобедренной?
Заметим, что у треугольников и равны также и площади. Действительно, площади треугольников и равны, поскольку они имеют общую сторону и равные высоты к этой стороне, а при вычитании из площадей этих треугольников площади получаются площади треугольников и .
Следовательно, у этих треугольников равны радиусы вписанных окружностей (из формулы , здесь через обозначен полупериметр данных треугольников). Из равенства радиусов вписанных окружностей получаем, что отрезки касательных, проведённых из точки к вписанным окружностям данных треугольников тоже равны. Далее заметим, что эти отрезки равны и соответственно, следовательно, .
Ответ: Да, обязательно.
А1 исуммируются.