Высшая проба 2025, 7 класс, задача 4
( баллов) Дан лист бумаги в форме прямоугольного треугольника площади . Докажите, что из него можно вырезать два прямоугольника суммарной площади .
Решение. Докажем, что из любого прямоугольного треугольника площади можно вырезать два прямоугольника с суммой площадей, равной . Отметим на катете BC точки D, E, делящие его на три равные по длине части, а на гипотенузе точки K, M , тоже делящие ее на три равные по длине части. Прямые DK и EM параллельны прямой AB. Пусть L — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую EM , а N — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AB. Докажем, что сумма площадей прямоугольников EDKL и CEM N равна от площади треугольника ABC. Действительно, продлим мысленно прямую KL до пересечения с прямой AC в точке P . Тогда по теореме Фалеса AC разобьется на три равных отрезка. Каждый из трех прямоугольных треугольников BDK, KLM и M N A имеет катеты, в три раза меньшие соответствующих катетов треугольника ABC, поэтому площадь каждого из них в раз меньше площади ABC, а в сумме три таких треугольника составят · = от площади ABC. Оставшаяся площадь занята упомянутыми прямоугольниками, и она равна от площади ABC.
По-другому вычислить сумму площадей этих прямоугольников можно так. Впишем треугольник в прямоугольник и разобъем этот прямоугольник на одинаковых прямоугольничков. Тогда можно вырезать два синих прямоугольника, их суммарная площадь равна площади трех маленьких прямоугольничков, что составляет от площади треугольника, равной площади прямоугольничков
Верное решение.
Верное решение с недостаточным обоснованием построения.
Не обосновано, что суммарная площадь прямоугольников равнапри обосновании построения конструкции.
Предложена конструкция разрезания (чертеж) без доказательств.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.