Высшая проба 2025, 7 класс, задача 4

Решение. Докажем, что из любого прямоугольного треугольника площади можно вырезать два прямоугольника с суммой площадей, равной . Отметим на катете BC точки D, E, делящие его на три равные по длине части, а на гипотенузе точки K, M , тоже делящие ее на три равные по длине части. Прямые DK и EM параллельны прямой AB. Пусть L — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую EM , а N — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AB. Докажем, что сумма площадей прямоугольников EDKL и CEM N равна от площади треугольника ABC. Действительно, продлим мысленно прямую KL до пересечения с прямой AC в точке P . Тогда по теореме Фалеса AC разобьется на три равных отрезка. Каждый из трех прямоугольных треугольников BDK, KLM и M N A имеет катеты, в три раза меньшие соответствующих катетов треугольника ABC, поэтому площадь каждого из них в раз меньше площади ABC, а в сумме три таких треугольника составят · = от площади ABC. Оставшаяся площадь занята упомянутыми прямоугольниками, и она равна от площади ABC.
По-другому вычислить сумму площадей этих прямоугольников можно так. Впишем треугольник в прямоугольник и разобъем этот прямоугольник на одинаковых прямоугольничков. Тогда можно вырезать два синих прямоугольника, их суммарная площадь равна площади трех маленьких прямоугольничков, что составляет от площади треугольника, равной площади прямоугольничков