Высшая проба 2024, 8 класс, задача 5
( баллов) В треугольнике проведена высота . Точка симметрична относительно середины стороны . Предположим, что . Докажите, что ортоцентр делит отрезок в отношении , считая от вершины.
Ответ
Для удобства будем считать, что (тогда ). Продлим основание за вершину и отметим на продолжении такую точку , что . Проведём из точки перпендикуляр к прямой . Поскольку
треугольник равнобедренный и высота к основанию является медианой. То есть . Проведём через точку среднюю линию треугольника , параллельную . Тогда и . Следовательно, — параллелограмм и . То есть и взаимно перпендикулярны, и точка — точка пересечения высот треугольника .
Пусть — точка пересечения высот треугольника . Рассмотрим прямые и : они параллельны, делит отрезок пополам. Значит, делит отрезок пополам. Поскольку — середина , получим требуемое: .