Высшая проба 2025, 11 класс, задача 3

Решение. Вначале покажем, что сумма углов любого, даже невыпуклого, -угольника равна градусов (этим фактом можно было пользоваться без доказательства). Для этого покажем, что каждый многоугольник (понимаемый как область, ограниченная замкнутой несамопересекающейся ломаной, никакие три последовательные вершины которой не лежат на одной прямой) может быть разбит на треугольников непересекающимися диагоналями. Доказательство проводится индукцией по , с базой в очевидном случае и с обоснованием существования внутренней диагонали, что совершает индукционный переход, так как каждый многоугольник может быть разрезан на два многоугольника с меньшим числом вершин некоторой диагональю.

Лемма. У любого многоугольника существует внутренняя диагональ.

Доказательство. Введем систему прямоугольных координат, в которых у каждой вершины разные -координаты. Выберем вершину с наименьшей -координатой. Рассмотрим смежные с ней вершины , . Если целиком лежит внутри многоугольника, то мы нашли искомую диагональ . Иначе отрезок пересекается с границей многоугольника, что может быть в двух вариантах: внутри треугольника нет других вершин, и другие вершины есть. В первом случае пересекает внутренность некоторой стороны многоугольника, но поскольку вершин внутри нет, концы должны быть за пределами , что означает пересечение с отрезком или , что означает самопересечение граничной ломаной — противоречие. Значит, внутри обязаны быть другие вершины многоугольника, тогда выберем из них , имеющую наименьшую -координату. Если пересекается с участком границы, то либо одна из вершин этого участка границы лежит внутри треугольника , но тогда она строго ниже — противоречие с выбором вершины , либо этот участок границы не содержит вершин внутри , но в этом случае он обязан пересекаться с отрезками или , что противоречит несамопересекаемости граничной ломаной.

Таким образом, всегда найдется диагональ, лежащая строго внутри многоугольника (действуя индуктивно, можно доказать, что таких диагоналей всегда не меньше ). Она разделяет многоугольник на два многоугольника с меньшим числом вершин, при этом, сумма внутренних углов каждого из них равна сумме углов исходного многоугольника. По индукции, начиная с , становится видно, что при любом любой -угольник может быть разбит на треугольников непересекающимися диагоналями, откуда и вычисляется сумма внутренних углов.

Теперь мы знаем, что сумма углов любого шестиугольника, не обязательно выпуклого, равна . Поэтому из условия следует, что , что, в свою очередь, влечет равенство треугольников и . Так как углы и равны, а , четырехугольник — вписанный. Хорды и его описанной окружности равны, поэтому является равнобокой трапецией.

Пусть, без ограничения общности, . Отразим точки и относительно середин и отрезков и соответственно, получим точки и . Параллелограммы и равны, поэтому , откуда . Расстояние от точки до прямой равно , что равно расстоянию от точки до прямой . На то же расстояние удалены точки и от прямой , поэтому четырехугольник является равнобокой трапецией с основаниями и , параллельными прямой (и, соответствено, и ). Кроме того, отрезок является общей средней линией для трапеций и , и его длина равна . Но в отрезок является диагональю, которая всегда длиннее, чем средняя линия, если трапеция невырождена. Равенство возможно только если и обе попали на прямую и является вырожденной трапецией