Высшая проба 2025, 9 класс, задача 6

Очень сложная
Комбинаторика
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2025, 9 класс

( баллов) На клетчатой бумаге выбрали подряд идущих по горизонтали клеток и отметили все их вершины (получили отмеченных точек). Алиса и Боб играют в игру. Они ходят по очереди, и каждый в свой ход соединяет отрезком две отмеченные точки, соседние по горизонтали или вертикали. Первой ходит Алиса. Нельзя пропускать ход, нельзя повторять уже сделанный кем-то ход и нельзя использовать отмеченную точку, если она уже соединена с двумя соседними. Боб выигрывает, если в какой-то момент игры из проведённых отрезков сложится прямоугольник. Если этого не произойдёт, то выигрывает Алиса. При каких значениях у Алисы есть выигрышная стратегия?

Замечание. Можно доказать, что если запретить повороты совсем (даже на ), то правильный треугольник не получится пересобрать в квадрат (и вообще, ни в какой параллелограмм).

1

Верное решение.

20
2

Доказано для всех⩾ 3, не рассмотрены случаи,.

15
3

Доказано для четных⩾ 4, другие случаи не рассмотрены.

5
4

Доказано, что Алиса побеждает при, других продвижений нет.

0
5

Решение не соответствует ни одному из критериев выше.

0
Максимум: 20

Похожие задачи

Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 6

(20 баллов) Рассматриваются наборы из семи гирь с суммарным весом 1 (вес каждой гири неотрицателен). Назовем поднабор большим, если сумма весов гирь поднабора больше или равна 2 / 3. Для каждого набора найдем число больших поднаборов. Найдите минимум этого числа по всем наборам.
Очень сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 1

(20 баллов) В таблице 9 × 9 расставлены различные натуральные числа, сумма которых равна 2S. Известно, что в каждой строке числа возрастают слева направо, а в каждом столбце - снизу вверх. Может ли сумма чисел в центральном квадрате 5 × 5 быть больше S?
Очень сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2025, 11 класс, задача 5

(20 баллов) Саша и Гоша поставили 2025 фишек в клетки доски 1000 × 1000 и по очереди ходят. Саша своим ходом может взять две фишки, стоящие в левом верхнем и правом нижнем углу некоторого клетчатого прямоугольника (со сторонами больше 1), и поместить их по одной в две другие угловые клетки того же п
Очень сложная
Комбинаторика

Высшая проба 2026, 7 класс, задача 6

(22 балла) Некоторые клетки квадрата n × n покрасили в красный цвет, при этом в каждой строке и в каждом столбце покрашено ровно 100 клеток. Известно, что никакие две красные клетки не касаются друг друга сторонами или углами. При каком наименьшем n такое могло произойти?
Очень сложная
Теория чисел
Комбинаторика