Высшая проба 2025, 10 класс, задача 2
( баллов) Дана двусторонняя линейка без делений. Этот инструмент позволяет делать две операции:
) провести прямую через две данные точки;
) провести прямую, параллельную данной, на расстоянии от нее.
Постройте с её помощью (и не используя никакие другие инструменты) правильный треугольник.
Ответ
Решение. Для начала построим две пары параллельных прямых. На их пересечении образуется параллелограмм с одинаковыми высотами, равными , а значит, являющийся ромбом. Проведем его диагонали, как известно, являющиеся перпендикулярными. Заметим, что с помощью двух этих перпендикулярных прямых и построения параллельных прямых на расстоянии мы можем построить клетчатую сетку любого конечного размера, состоящую из квадратиков со стороной .
Введем систему координат с центром в одном из узлов сетки и с осями, параллельными сторонам клеток. Проведем прямую через точки и . Теперь проведем снизу от нее параллельную прямую на расстоянии . Заметим, что на пересечении пар прямых , и , образуется ромб со стороной длины , а значит, проходит через точку .
Теперь проведем прямую через пару точек и , а также параллельную ей прямую на расстоянии сверху от нее. На пересечении пар прямых , и , образуется ромб со стороной длины , а значит, проходит через точку . Осталось лишь соединить точки , и , чтобы получить искомый равносторонний треугольник.