Высшая проба 2025, 9 и 10 классы
( баллов) Даны многочлены и , оба степени со старшими коэффициентами . У каждого из них ровно различных целых корней. Известно, что все корни многочлена чётны, а все корни многочлена нечётны. Докажите, что у многочлена не может быть целых корней.
Пусть чётные числа — корни многочлена , а нечётные числа — корни многочлена . Тогда
Подставим в целое число . Возможны два случая: чётно и нечётно.
В первом случае чётно как произведение чётных чисел, а нечётно как произведение нечётных чисел, поэтому нечётно.
Аналогично в случае нечётного величина нечётна как произведение нечётных чисел, а чётно как произведение чётных чисел, и опять нечётно.
Таким образом, нечётно при любом целом , и поэтому не может быть равно нулю. Значит, не имеет целых корней.
Верное решение.
Частично отсутствует вывод (что целых корней нет или не может быть).
Присутствуют рассуждения про четность коэффициентов многочленов, есть недочеты Или Сделан необоснованный вывод про знак свободного члена с последующим использованием этого факта, но он не влияет на ход решения Или Полностью отсутствует вывод «в силу нечетности не может быть нуля» и дальнейшие рассуждения.
Присутствуют рассуждения про четность коэффициентов многочленов, но решение к доказательству не приводит Или Сделан необоснованный вывод про знак свободного члена с последующем использованием этого факта, и он влияет на ход решения.
Рассуждения о коэффициентах или свободных членах, не приводящие к доказательству.
Рассмотрен только частный случай; переписанное условие; отсутствие иных содержательных рассуждений.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.