Высшая проба 2025, 9 и 10 классы
( баллов) Даны многочлены и , оба степени со старшими коэффициентами . У каждого из них ровно различных целых корней. Известно, что все корни многочлена чётны, а все корни многочлена нечётны. Докажите, что у многочлена не может быть целых корней.
Ответ
Пусть чётные числа — корни многочлена , а нечётные числа — корни многочлена . Тогда
Подставим в целое число . Возможны два случая: чётно и нечётно.
В первом случае чётно как произведение чётных чисел, а нечётно как произведение нечётных чисел, поэтому нечётно.
Аналогично в случае нечётного величина нечётна как произведение нечётных чисел, а чётно как произведение чётных чисел, и опять нечётно.
Таким образом, нечётно при любом целом , и поэтому не может быть равно нулю. Значит, не имеет целых корней.