Высшая проба 2025, 11 класс, задача 4
( баллов) В комплекте для сборки игрушечного поезда есть один локомотив (который всегда расположен спереди), одинаковых красных вагонов и одинаковых жёлтых вагонов. Назовём поезд длинным, если в нём есть хотя бы вагонов (не считая локомотива). Сколько различных длинных поездов можно собрать, используя этот комплект? (Ответ должен быть дан в замкнутом виде: в ответе не должно быть сумм с переменным числом слагаемых, многоточий и т.д.)
Ответ. .
Решение. Посчитаем количество всех поездов, которые можно собрать в данном наборе. Зафиксируем число () и посчитаем, сколько всего поездов с ровно красными вагонами. Желтых вагонов может быть от до , и для каждого числа желтых вагонов от до мы выбираем мест в строке длины . Таким образом, искомое количество поездов с красными вагонами равно сумме
Докажем, что эта сумма равна . Распишем каждое слагаемое, пользуясь следующим тождеством Паскаля:
Мы получим:
В каждой скобке вычитаемое равно уменьшаемому из предыдущей скобки. Нетронутым останется лишь уменьшаемое в последней скобке, равное , — это и есть искомый результат сложения. Заметим, что этот результат равен в силу симметрии биномиальных коэффициентов.
Теперь нужно сложить эти числа по всем от до . Получим сумму
которая суммируется аналогичным образом, и результат этого суммирования равен
Мы посчитали количество всех поездов. Осталось лишь вычесть количество поездов, в которых не более вагонов, но для каждого количество поездов длины очевидно равно , а всего в сумме таких поездов . Таким образом, длинных поездов $\binom{5n+2}{2n+1}-2^n
Верное решение.
Арифметическая ошибка в вычислениях.
Посчитано количество всех поездов, в том числе с ⩽вагонами.
Верный ход решения, но суммы биномиальных коэффициентов не вычислены в замкнутом виде.
Посчитан один из трех различных вариантов.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.