Высшая проба 2025, 10 класс, задача 5
( баллов) По кругу стоит несколько коробок. В одной из них камней, а остальные пусты. Разрешается взять два камня (возможно, из разных коробок) и переложить один в соседнюю коробку по часовой стрелке, а другой — в соседнюю против часовой стрелки. Через некоторое время все камни оказались в одной и той же коробке, соседней с начальной. Докажите, что один из камней побывал во всех коробках.
Ответ
Решение. Занумеруем камни от до . Занумеруем коробки от до по или против часовой стрелки так, чтобы все камни в начале были в -й коробке а в конце оказались в -й.
Расставим бесконечное количество кувшинов в ряд (у каждого кувшина будет номер — целое число). Положим в кувшин с нулевым номером шаров, занумерованных от до . Каждый ход, когда камень с номером перекладывают из коробки номер в коробку номер , будем перекладывать шар номер из кувшина (где он находился на момент перекладывания камня) в кувшин номер . Аналогично, когда камень с номером перекладывают из коробки номер в коробку номер , будем перекладывать шар номер из кувшина (где он находился на момент перекладывания камня) в кувшин номер . Таким образом, одновременно с перекладыванием двух камней мы будем перекладывать два шара. Заметим, что остаток по модулю от номера кувшина, в котором находится -й шар, будет всегда равен номеру коробки, в котором находится -й камень.
Обозначим номер кувшина, в котором находится -й шар в данный момент, за . Мы только что выяснили, что тогда номер коробки, в котором находится -й камень, равен . Теперь ясно, что в конце все шары оказались в кувшинах, номера которых сравнимы с по модулю . Заметим, что сумма в любой момент времени равна нулю: в начале она равна нулю, так как все шары были в кувшине с номером , и каждый ход одно из слагаемх увеличивается на , а другое — уменьшается. Поскольку ни один из шаров в конце не находится в кувшине номер , один из шаров (допустим, -й) оказался в конце в кувшине с отрицательным номером. Поскольку этот номер сравним с по модулю , номер кувшина -го шара в конце концов оказался меньше либо равен .
Итого, номер кувшина -го шара каждый ход менялся не более, чем на , и в конце стал меньше либо равен . Но это значит, что остатоки от деления на номера кувшина -го шара пробежали все возможные значения от (в начале) до . То есть, номер коробки -го камня пробежал все возможные значения от до , что и требовалось