Высшая проба 2025, 7 класс, задача 3
( баллов) Дробь с натуральными числителем и знаменателем называется удачной, если она равна дроби с натуральными числителем и знаменателем, у которой числитель меньше знаменателя на . Например, дробь — удачная. Сколько существует удачных дробей со знаменателем ?
Ответ. .
Решение. Всякая удачная дробь со знаменателем обязана иметь вид , где . Каждому делителю знаменателя , за исключением самого , соответствует ровно одна такая дробь. Таким образом, задача эквивалентна нахождению , где обозначает количество делителей числа . Как известно, если — разложение числа в произведение степеней простых, то . В нашем случае , значит, , откуда получаем ответ на задачу — .
Верное решение.
Получен ответ 15, так как не учтен случай, когда числитель дроби равен 0.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.