Всесиб 2026, 9 класс, задача 3
( баллов) В каждой клетке прямоугольной таблицы записано некоторое натуральное число. Для каждой клетки число, стоящее в ней, равно количеству различных значений чисел в клетках, находящихся в той же строке или том же столбце (включая саму клетку), что и данная. Найдите все таблицы с этим свойством.
Ответ
Ответ. Независимо от размера, это только таблицы, в каждой клетке которых записана единица.
Решение. Рассмотрим максимальное изо всех записанных в клетках таблицы чисел, обозначим его за и любую клетку , в которой записано . По условию, строка и столбец, содержащие , содержат в совокупности ровно различных натуральных чисел, не превосходящих ввиду его максимальности. Следовательно, в этих строке и столбце в совокупности записаны в точности только числа . Рассмотрим клетку , содержащую число . По условию, все клетки строки и столбца, содержащих , содержат одно и то же число, равное, следовательно, . Клетка содержащая располагается в одной строке, либо одном столбце с клеткой , содержащей , поэтому и во всех клетках таблицы записаны единицы.