Всесиб 2025, 9 класс, задача 5

Ответ. Победит Петя.

Решение. Стратегия Пети заключается в том, что он своими ходами разделит
множество всех клеток доски на две части таких что:
) из каждой из них нельзя перейти в другую, последовательно переходя от клетки в одну
из соседних с ней по стороне или вершине клеток, минуя синие клетки.
) в каждой из этих частей после окончания игры окажется хотя бы по одной красной
клетке.
Разделяющее множество будет включать граничные клетки и построено так, что от
каждой синей клетки до каждой можно добраться, последовательно переходя от клетки в
одну из соседних с ней по стороне клеток. В основном оно будет проходить по второй слева
вертикали и второй снизу горизонтали.
После первого хода Васи выделим пять крайних горизонталей и пять крайних
вертикалей доски, не содержащих только что окрашенной им красной клетки. Можно
считать, что это пять нижних горизонталей и пять левых вертикалей. Тем самым мы
выделили часть доски, где нет красных клеток и где будет происходить построение Петиной
синей перегородки. Занумеруем их, как в шахматах, вертикали - буквами , , , , , а
горизонтали - цифрами , , , , . Своим первым ходом Петя красит в синий цвет клетку
с намерением отгородить ходами от неё вверх и вправо от остальной доски несколько
клеток, содержащих угловую клетку .
) Если вторым ходом Вася не красит ни одну из клеток , , , выберем из
вертикалей и и горизонталей и ту полосу ширины , в которую Вася не сходил
вторым ходом, можно считать, что эти горизонтали и . Следующим ходом Петя красит
. Если своим следующим (третьим) ходом Вася не покрасит , то проиграет, поскольку
её покрасит Петя и отгородит угловую от остального мира: если она будет вторым ходом
Васи окрашена в красный цвет, то эта клетка уже отгорожена от остальных, если нет, то
своими дальнейшими ходами Петя будет красить что угодно, кроме , и из-за нечётности
количества клеток доски, рано или поздно, возможно, последним ходом, Васе придётся
покрасить и создать отгороженную красную клетку.
Замечание. Нечётность размера доски используется именно в этом месте для создания
Петей «мины» на для Васи.
Таким образом, в рассматриваемой ситуации третьим ходом Васе придётся покрасить
, на что Петя ответит окраской . Васе придётся окрасить , иначе Петя тут же
отгородит его красную ходом . На это Петя ответит окраской . Продолжая так далее,
Петя будет продлевать свою линию синих клеток по второй горизонтали, всегда опережая
Васю на одну клетку, и на каждый его ход Васе придётся отвечать единственным способом,
продлевая свою линию красных клеток по первой горизонтали. Всё это в итоге упрётся в
правый край доски на десятом ходу Пети и отгородит Васины клетки на первой горизонтали
от остальных. Следовательно, если Вася своим вторым ходим не окрасит ни одну из клеток
, , , то проиграет. Заметим, что в при этом в первых двух горизонталях Васиных
клеток нет, и ничто не помешает стратегии Пети.
) Пусть теперь вторым ходом Вася красит одну из клеток , , .
Первый случай, когда он красит . Тогда вторым ходом Петя красит и ситуация
полностью повторяет только что рассмотренный случай ).
Второй случай. Вася вторым ходом красит , (ситуация, когда он красит ,
рассматривается симметрично) Петя в ответ красит и его горизонтальная красная вторая
горизонталь на одну клетку длиннее, чем Васина синяя первая. Это состояние он и будет
поддерживать дальше, если Вася своим ходом будет продлевать первую красную
горизонталь. Если Вася каким-то очередным ходом окрасит , то Петя перекроет ему путь
наверх, окрасив . Если Вася каким-то очередным ходом окрасит , то Петя окрасит и
создаст свою вторую заградительную синюю линию по вертикали b, которая тоже на одну
клетку длиннее Васиной красной вертикали а. Дальше на каждое продление Васей одной
из своих линий вдоль края доски Петя будет продлевать соответствующую свою, а на
любой другой ход Васи Петя будет отвечать перекрытием одной из Васиных линий с торца.
Поскольку Петины линии после каждого его хода длиннее Васиных, то не более, чем через
ходов Петя либо достигнет верхний и нижний края доски, либо перекроет с торцов обе
Васиных линии. В обоих случаях его цель будет достигнута и некоторое количество
Васиных клеток будут отрезаны от остальных.