(7 баллов) Найти все пары действительных чисел a и b, удовлетворяющих системе уравнений
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2025, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Доказать, что для всех положительных действительных чисел a и b выполнено неравенство: (a(a+1)/b+1) +(b(b+1)/a+1) ge a+b.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2025, 11 класс, задача 3
(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC с углом 60circ при вершине B, обозначим за O центр описанной окружности, за H - точку пересечения высот. Прямая OH пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Доказать, что треугольник KBM - равносторонний.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2025, 11 класс, задача 4
(7 баллов) Найти все тройки натуральных чисел a, b, c таких, что числа ab+1, ac+1, bc+1 являются факториалами некоторых натуральных чисел. Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2025, 11 класс, задача 5
(7 баллов) В выпуклом n-угольнике проведены диагонали, разбивающие его на треугольники, и не пересекающиеся по внутренним точкам. При этом из каждой вершины выходит чётное, может быть нулевое, количество диагоналей. Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда n делится на 3.
(7 баллов) Отрезок AB точками P и M разбит на три отрезка AP, PM и MB, из которых можно составить треугольник. Найти все точки X, лежащие внутри отрезка PM для произвольного такого разбиения.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2025, 10 класс, задача 2
(7 баллов) Найти все тройки действительных чисел a, b, c, удовлетворяющих системе уравнений:
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2025, 10 класс, задача 3
(7 баллов) В равнобедренном треугольнике с основанием AC и углом ABC=20circ при вершине B, на стороне AB отмечена точка H такая, что угол AHC=30circ. Доказать AC=BH.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2025, 10 класс, задача 4
(7 баллов) Найти все натуральные числа nge 3 такие, что для любого целого числа mge 0 существуют n целых чисел x1,ldots,xn таких, что x1+ · s+xn=0 и x1x2+x2x3+ · s+xn-1xn+xnx
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2025, 10 класс, задача 5
(7 баллов) По кругу в некотором порядке выписаны все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Пара не соседних чисел a и b называется хорошей, если все числа, выписанные по одну из сторон от хорды, соединяющей a и b, меньше a и b. Какое количество хороших пар чисел может содержаться среди выписан
(7 баллов) Ненулевые действительные числа x, y, z таковы, что (x+y/z) =(y+z/x) =(z+x/y). Найти все возможные значения выражения ((x+y)(y+z)(z+x)/xyz).
Сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2025, 9 класс, задача 2
(7 баллов) На стороне AD квадрата ABCD вовнутрь него построен равносторонний треугольник APD, а на стороне CD вовне квадрата - равносторонний треугольник CQD. Доказать, что точки B, P и Q лежат на одной прямой.
Сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2025, 9 класс, задача 3
(7 баллов) Рассмотрим произвольную последовательность из 30 чисел, среди которых 15 единиц и 15 двоек. Число S называется хорошим для этой последовательности, если в ней можно найти несколько подряд идущих чисел, сумма которых равна в точности S. Здесь несколько - это любое количество от 1 до 30 вкл
Сложная
Комбинаторика
Всесиб 2025, 9 класс, задача 4
(7 баллов) Найти все натуральные числа n такие, что все цифры в десятичной записи числа 6n+1 одинаковы.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2025, 9 класс, задача 5
(7 баллов) Вася и Петя по очереди красят клетки доски 11 на 11, начинает Вася. Первоначально все клетки доски белые, Вася красит любую белую клетку в красный цвет, а Петя - любую белую клетку - в синий. Красить не белые клетки нельзя, пропускать свой ход тоже нельзя, окрашивание продолжается до тех
