Всесиб 2025, 11 класс, задача 1
(7 баллов) Найти все пары действительных чисел a и b, удовлетворяющих системе уравненийВсесиб 2025, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Доказать, что для всех положительных действительных чисел a и b выполнено неравенство: (a(a+1)/b+1) +(b(b+1)/a+1) ge a+b.Всесиб 2025, 11 класс, задача 3
(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC с углом 60circ при вершине B, обозначим за O центр описанной окружности, за H - точку пересечения высот. Прямая OH пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Доказать, что треугольник KBM - равносторонний.Всесиб 2025, 11 класс, задача 4
(7 баллов) Найти все тройки натуральных чисел a, b, c таких, что числа ab+1, ac+1, bc+1 являются факториалами некоторых натуральных чисел. Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.Всесиб 2025, 11 класс, задача 5
(7 баллов) В выпуклом n-угольнике проведены диагонали, разбивающие его на треугольники, и не пересекающиеся по внутренним точкам. При этом из каждой вершины выходит чётное, может быть нулевое, количество диагоналей. Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда n делится на 3.
