Всесиб 2025, 10 класс, задача 4

Ответ. Все .

Решение. . Пусть сначала . Положим , , , тогда сумма их попарных произведений равна , то есть . Из последнего равенства следует, что остаток от деления числа на совпадает с остатком от деления , который может быть равен только или . Следовательно, числа для всех , дающих при делении на остаток , не могут быть представлены требуемым в условии образом, поэтому не удовлетворяет условию. Можно просто перебрать все варианты остатков от деления чисел и на с тем же эффектом.

. Пусть . Положим , , , . Тогда сумма их попарных произведений по циклу равна , то есть . Следовательно, в требуемом в условии виде представляются только те числа , для которых является точным квадратом, поэтому случай тоже не удовлетворяет условию.

. Пусть теперь . Для произвольного рассмотрим целых чисел . Их сумма равна , а сумма попарных произведений по циклу равна в точности , следовательно, любое удовлетворяет условию задачи.